如何直观理解差商？

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最近在学计算方法，斗胆回答一下这个问题，算是如何直观理解差商？@李晓的回答的具体的展开。

为方便叙述，我模糊了差商和差分的概念。

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理解1 差分是多项式这种初等函数（的数列）的递推关系的一种反应

多项式/指数/三角函数这些初等函数的意义是什么呢？

多项式

• 零次多项式 $a_0=1,a_1=1,\cdots ,a_n=1,\cdots$
• 一次多项式 $b_0={\sum }_{j=0}^0{a}_j,b_1={\sum }_{j=0}^1{a}_j,\cdots ,b_n={\sum }_{j=0}^n{a}_j,\cdots$
• 二次多项式 $c_0={\sum }_{j=0}^0{b}_j,c_1={\sum }_{j=0}^1{b}_j,\cdots ,c_n={\sum }_{j=0}^n{b}_j,\cdots$

指数

• $a_0=1,a_1=a_0+1,\cdots ,a_n=\left({\sum }_{j=0}^{n-1}{a}_j\right)+1,\cdots$

实际上三角函数也是指数函数，只不过特征根是虚数。

更一般的， 指数可以写成常系数齐次线性差分/微分方程

• $a[n]=C_{1}a[n-1]+\cdots +C_{m}a[n-m]$
• $a(t)=C_1\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}a(t)+\cdots +C_m\frac{{\mathrm{d}}^m}{\mathrm{d}{x}^m}a(t)$

多项式/指数/三角函数这些初等函数的意义，可以理解为代数中最平凡的递推关系。

差分，也在刻画这种递推关系。

正过来看，n次多项式是常数列n阶求和产生的；

反过来看，n次多项式数列差分会得到(n-1)次多项式数列，n阶差分得到常数列，而差分就与差商息息相关。

         6   6   6          x = 6
      12  18  24  30        x = 6*n + 6
     7  19  37  61  91      x = 3*n^2 + 3*n + 1
   1   8  27  64 125 216    x = n^3

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理解2 差商与导数形式相似

我们假设差商的对象就是多项式函数 $f(x)=a_n{x}^n+\cdots +a_0$ ，且插值点呈等差数列，$f_t=f(x_t)=f(x_0+th)$ 。

考虑向后差分算子 $\nabla f_t=f_t-f_{t-1}$ ，那么

$f[x_t,\cdots ,x_{t-m}]=\frac{1}{m!}\frac{1}{h^m}{\nabla }^m{f}_t$

注意差商的定义

$f[x_0,\cdots ,x_m]=\frac{f[x_0,\cdots ,x_{m-1}]-f[x_1,\cdots ,x_m]}{x_0-x_m}\stackrel{\text{mean value theorem}}{=}\frac{f^{(m)}(\xi )}{m!}$

因此

$a_n=\frac{f^{(n)}(\xi )}{n!}=\frac{\frac{{\nabla }^n{f}_t}{h^n}}{n!}=f[x_0,\cdots ,x_n]$

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理解3 基于差商的牛顿插值公式与泰勒展开形式相似

等间距牛顿插值公式 $f(x_n+th)=f_n+t\nabla f_n+\frac{t(t+1)}{2!}{\nabla }^2{f}_n+\cdots +\frac{t(t+1)\cdots (t+n-1)}{n!}{\nabla }^n{f}_n$

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TODO 从另一个角度理解差商

$f[x_0,\cdots ,x_m]={\sum }_{j=0}^m\frac{f(x_j)}{(x_j-x_0)\cdots (x_j-x_{j-1})(x_j-x_{j+1})\cdots (x_j-x_m)}$