解决线性规划问题 if 条件

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#python #人工智能 #机器学习

于 2023-04-25 15:26:42 首次发布

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不论用什么求解器，数学规划模型中一般不支持直接输入 if ... else 条件，也就是说在编写模型代码时，if..else 条件判断中不能含有模型变量。遇到有变量需要做 if 判断的时候，需要做线性化处理。

线性化的方法很多，既可以通过引入中间变量（辅助变量）的方式实现，一般就是加上大M和一个01变量来实现，也可以直接调用 Gurobi 的 Indicator 约束实现。gurobi原厂也提供了一个示范案例，可以参考 https://support.gurobi.com/hc/en-us/articles/4414392016529-How-do-I-model-conditional-statements-in-Gurobi-

一、举例：

原问题：

如果 x>y则z=w1；否则 z=w2；

（1）首先，考虑引入0和1变量b:

$\\x\geqslant y\Leftrightarrow b=1 \\ x < y\Leftrightarrow b =0$

目的是为了实现：当b = 1 时，x ≥ y

(2) 引入大M实现第一步的公式：

$x \ge y + 0.001 - M(1-b)\\$ 约束（1）

约束（2）

$b \in \{0,1\}$

同理接下来继续实现：

$\\b=1 \rightarrow z = w_1$ 约束（3）

$\\ b=0 \rightarrow z = w_2$ 约束（4）

转为：

$\\ w_1-M\cdot (1-b)\le z \le w_1 + M\cdot (1-b) \\ w_2-M\cdot b\le z \le w_2 + M\cdot b\\$

最判断转为：

$x \ge y + 0.001 - M(1-b)\\$

$x \le y + M\\$

$\\ w_1-M\cdot (1-b)\le z \le w_1 + M\cdot (1-b) \\ w_2-M\cdot b\le z \le w_2 + M\cdot b\\$

$b \in \{0,1\}$

groubi的可以通过指标约束（indicator constraints）实现约束（3）和约束（4）：

变量及其上下限：

x,y,z,w1,w2 均为实数，其中

x、y∈[0,5]，z,w1,w2无上下限约束

约束为上述的约束（1）～约束（4）

二、Gurobi Indicator 用法
Gurobi Indicator 约束用来表达 z = f >> ax<=b 这样的逻辑条件。其中
（1）z 需要是 0/1 变量， f 是 0/1 （True/False）数值， >> 左边不能是其他表达式
（2）>> 右边需要是线性表达式，不能是二次或者广义约束表达式。如果是二次或者广义表达式，可以引入中间变量=二次或者广义表达式放在约束中，然后用中间变量替换，使得 >> 右边是线性表达式。

约束和变量在gurobi中的构建代码：

import gurobipy as gp
 from gurobipy import GRB # 创建一个新模型
m = gp.Model( "test" ) # 创建变量
x = m.addVar(ub= 10 , vtype=GRB.CONTINUOUS, name= "x" ) 
y = m.addVar(ub= 5 , vtype=GRB.CONTINUOUS, name= "y" ) 
z = m.addVar(vtype=GRB.CONTINUOUS, name= "z" ) 
w1 = m.addVar(vtype=GRB.CONTINUOUS, name= "w1" ) 
w2 = m.addVar(vtype=GRB.CONTINUOUS, name= "w2" ) 
b = m.addVar(vtype=GRB.BINARY, name= "b")





# 常量
eps = 0.0001 
M = 10 + eps # x 和 y 上可能给定的最小边界

# 建模如果 x > y，则 b = 1，否则 b = 0 
m.addConstr(x >= y + eps - M * ( 1 - b), name= "bigM_constr1" ) 
m.addConstr(x <= y + M * b, name= "bigM_constr2" ) # 添加指标约束
m.addConstr((b == 1 ) >> (z == w1 ), name= "indicator_constr1" ) 
m.addConstr((b == 0 ) >> (z == w2), name= "indicator_constr2" ) 



# 请继续构建模型的其余部分# ..

参考：https://support.gurobi.com/hc/en-us/articles/4414392016529-How-do-I-model-conditional-statements-in-Gurobi-

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