连续子数组的最大和

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分类专栏：数据结构与算法文章标签： leetcode 算法动态规划

于 2022-02-11 16:04:47 首次发布

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博客探讨了如何使用动态规划在O(n)的时间复杂度内解决找到整型数组中连续子数组最大和的问题。错误地尝试使用二维动态规划数组后，文章提出了一维动态规划数组的正确解决方案，并提供了优化后的Java代码实现。该算法通过比较前一个元素的和与0的较大值来更新当前子数组的最大和，从而避免了不必要的计算。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

连续子数组的最大和

1 题目描述

输入一个整型数组，数组中的一个或连续多个整数组成一个子数组。求所有子数组的和的最大值。

要求时间复杂度为O(n)。

示例1:

输入: nums = [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]
输出: 6
解释: 连续子数组 [4,-1,2,1] 的和最大，为 6。

2 解题思路

本题使用暴力法两层循环可解决，时间复杂度为O(n²)。

可使用动态规划降低时间复杂度。在第一次使用动态规划时想到用二维数组保存结果dp[i][j]表示从nums[i]到nums[j]的子数组的和。dp[i][j]=nums[j-1]+dp[i][j-1]在填充dp数组时得到最大值。

class Solution {
    public int maxSubArray(int[] nums) {
		int[][] dp = new int[nums.length+1][nums.length+1];
        int max = nums[0];
        for(int i = 1;i< dp.length;i++){
            for (int j = i; j < dp.length; j++) {
                dp[i][j]=nums[j-1]+dp[i][j-1];
                if (max<dp[i][j])
                    max=dp[i][j];
            }
        }
        return max;
    }
}

然而这种思想是错误的，并没用起到动态规划减少时间复杂度的作用，时间复杂度仍然为O(n²)。

因此不能使用二维dp数组，使用一维dp数组解题。重新构造状态转换公式。

因为本题只需要找出最大值，而不用得到子序列因此可使用一维数组dp[i]表示到nums[i]结尾的子数组的最大和。当dp[i-1]为负数时，到nums[i]结尾子数组的最大和即为nums[i]。因此
$d p [i] = d p [i - 1] + n u m s [i] (d p [i - 1] > 0)$
$d p [i] = n u m s [i] (d p [i - 1] < = 0)$
为进一步节省空间，可以直接以nums作为dp数组直接修改得到（i从1开始，res初始为nums[0]）
$n u m s [i] + = m a x (n u m s [i - 1], 0)$

$r e s = m a x (r e s, n u m s [i])$

3 代码

class Solution {
    public int maxSubArray(int[] nums) {
        int res = nums[0];
        for(int i =1;i<nums.length;i++){
            nums[i]+=Math.max(nums[i-1],0);
            res=Math.max(res,nums[i]);
        }
        return res;
    }
}