「题解」异或

披着位运算皮的莫队（114514）

原题出处：没找到

原题链接：异或

「我的做题历程」：

step1：观察题面

题面如下图。

图 1 题面

看到这个「区间询问」，我的脑子里闪过了「树状数组」和「前缀和」。然而这两种做法都有都有超时的风险。（算法：未知）

step2：思考解法

我并没有想到怎么用树状数组做，于是开始想前缀和 + 暴力。

这道题最主要的部分是这个「区间 $[l,r]$ 中所有出现且出现了偶数次的整数」怎么求。可是，在正常的题目里，我们求的往往是一个区间中出现奇数次的数的异或和。

于是，我有了一个大胆的想法。用这段区间的异或和，异或上这段区间所有元素与整数的交集（即异或上这段区间里所有不同的元素）。譬如 $3,4,3,5,5$，其所有元素与整数的交集是 $3,4,5$。这就相当于让原本出现奇数次的元素「出现」偶数次，让原本出现偶数次的元素「出现」奇数次。通过这样的转换，就可以求到这段区间的所有出现且出现了偶数次的整数的异或和。

这种解法有两个难点：

1. 怎么求任意区间的异或和？
2. 怎么求这段区间所有元素与整数的交集？

对于第一个难点，使用暴力是妥妥 TLE。我们可以使用异或前缀和，其原理与前缀和相似。

对于第二个难点，思来想去发现我只会 set。

但是我害怕超时（望向卡常大佬）。

图 2 chat 记录

。。。OK，行。

50 tps 代码：

#pragma GCC optimize("Ofast,no-stack-protector")
#pragma GCC target("sse,sse2,sse3,ssse3,sse4,popcnt,abm,mmx,avx,tune=native")
#define R register
#pragma GCC optimize(2)
#pragma GCC optimize(3)
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 3e5 + 5;
int n, m, l, r;
ll a[N], pre[N], sum;
set<ll> s;
int main() {
   
	scanf("%d", &n);
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
   
		scanf