「题解」相框（福建集训2011）

这相框怕不是用来装我的遗像

（尝试不写缩进.ing）

原题出处：福建集训 2011

原题链接：link

「我的做题历程」：

step1：观察题面

「T 君不满足于焊接奇形怪状的作品，强烈的破坏欲驱使他拆掉这个作品，然后将之焊接成规整的形状。这会儿，T 君正要把这个怪物改造成一个环形，当作自己的相框。」——（变图为简单环）

「原有的作品可能不是连通的。」——（联通块可能不止一个）

「若不与任何焊点相连，则将这一端标号为 $0$。」——（可能有孤点）

「烧熔一个焊点：使得连接在焊点上的某些导线相分离或保持相连（可以理解为：把焊点上的导线划分为若干个类，相同类中的导线相连，不同类之间的导线相离）」——（允许拆点）。

注释：这里的「拆（熔）点」指什么？

下图即是一个熔点操作。

图 1 熔点操作示意

「某些焊点甚至没有任何导线与之相连，由于 T 君只关心导线，因此这些焊点可以不被考虑。」——（边用完后没连接上的的点不必考虑）。

一句话题意：给你一张图（可能是不连通的），允许更换端点或拆点，求最少操作多少步，使得原图变成一个简单环（不必联通所有的点，但要用上所有的边）。（不知道简单环的同学这边请 → 图论相关概念）

step2：思考解法

首先，我们需要承认：无向简单环上的所有点的入度和出度都等于 $2$。

然后，从简单想起（有且仅有一个联通块时）——

若要满足题意，则对于图上任一点 $u$，都有 $d^{-}(u)=2$，所以我们要熔掉所有度数大于 $2$ 的点。偶点便熔成若干入度为 $2$ 的点，奇点便熔成若干入度为 $2$ 的点 + 一个孤立点。

熔完后，对于图上任一点 $u$，一定有