数学专项number_theory：UVa 10692_number theory答案-优快云博客

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本文讨论了一个数论问题的解决方法，特别是在a和m不互质的情况下的应用。介绍了一个扩展的欧拉公式，并通过代码实现了解决方案。

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只能说数论方面的基本知识还是太匮乏了，而且lrj书上处理的情况都比较特殊。导致一遇到a和m不互质的情况我就一筹莫展了……无意间找到了一个公式才让我解决了这道题：a^x≡a^(x%phi(c)+phi(c))(mod c)。这个公式对a、c不互质的情况也成立，应该算是欧拉公式的扩展吧，可是因为没有系统学习过，所以也不知道怎么证明。求数学帝指点，或者推荐点资料神马的。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <string>
#include <sstream>
using namespace std;
int phi[10010];
void init()
{
    for(int i=2;i<=10000;i++) phi[i]=0;
    phi[1]=1;
    for(int i=2;i<=10000;i++) if(!phi[i])
       for(int j=i;j<=10000;j+=i)
       {
           if(!phi[j]) phi[j]=j;
           phi[j]=phi[j]/i*(i-1);
       }
}
string s;
int m,n;
int a[20];
int pow_mod(int A,int N,int M)
{
    if(N==0) return 1;
    int ans=pow_mod(A,N/2,M);
    ans=(long long)ans*ans%M;
    if(N%2==1) ans=(long long)ans*A%M;
    return ans;
}
int dfs(int dep,int mod)
{
    if(dep==n-1) return a[dep]%mod;
    int tmp=dfs(dep+1,phi[mod]);
    int ans=pow_mod(a[dep],tmp+phi[mod],mod);
    return ans;
}
int main()
{
    freopen("in.txt","r",stdin);
    init();
    int kase=1;
    while(getline(cin,s)&&s[0]!='#')
    {
        istringstream in(s);
        in>>m>>n;
        for(int i=0;i<n;i++) in>>a[i];
        cout<<"Case #"<<kase++<<": ";
        cout<<dfs(0,m)<<endl;
    }
    return 0;
}