证明n阶方阵A可相似对角化的充要条件是A有n个线性无关的特征向量

证明n阶方阵A可相似对角化的充要条件是A有n个线性无关的特征向量证明:必要性:已知A可以相似对角化,则存在可逆矩阵PP−1AP=(λ1λ2…λn)AP=P(λ1λ2…λn)对P的每列进行分块,有P=[x1∣x2∣…∣xn],于是有A[x1∣x2∣…∣xn]=[x1∣x2∣…∣xn](λ1λ2…λn)[Ax1∣Ax2∣…∣Axn]=[λ1x1∣λ2x2∣…∣λnxn]有Axi=λixi因为P可逆,所以xi线性无关,可知A有n个线性无关特征向量充分性:已知A有n个线性无关的特征向量,Axi=λixi,xi线性无关有[Ax1∣Ax2∣…∣Axn]=[λ1x1∣λ2x2∣…∣λnxn]A[x1∣x2∣…∣xn]=[x1∣x2∣…∣xn](λ1λ2…λn)令P=[x1∣x2∣…∣xn]AP=P(λ1λ2…λn)P−1AP=(λ1λ2…λn) \begin{aligned} & 证明n阶方阵A可相似对角化的充要条件是A有n个线性无关的特征向量\\ & 证明:\\ & 必要性:已知A可以相似对角化,则存在可逆矩阵P\\ & P^{-1}AP = \begin{pmatrix} & \lambda_1 \\ & \quad & \lambda_2 \\ & \quad & \quad & \dots \\ & \quad & \quad & \quad & \lambda_n & \end{pmatrix}\\\\ & AP = P\begin{pmatrix} & \lambda_1 \\ & \quad & \lambda_2 \\ & \quad & \quad & \dots \\ & \quad & \quad & \quad & \lambda_n & \end{pmatrix}\\ & 对P的每列进行分块,有P=[x_1|x_2|\dots|x_n],于是有 \\\\ & A[x_1|x_2|\dots|x_n] = [x_1|x_2|\dots|x_n]\begin{pmatrix} & \lambda_1 \\ & \quad & \lambda_2 \\ & \quad & \quad & \dots \\ & \quad & \quad & \quad & \lambda_n & \end{pmatrix}\\ & [Ax_1|Ax_2|\dots|Ax_n] = [\lambda_1x_1|\lambda_2x_2|\dots|\lambda_nx_n]\\ & 有Ax_i = \lambda_ixi\\ & 因为P可逆,所以x_i线性无关,可知A有n个线性无关特征向量\\ \\ & 充分性:已知A有n个线性无关的特征向量,Ax_i=\lambda_ix_i,x_i线性无关\\ & 有[Ax_1|Ax_2|\dots|Ax_n] = [\lambda_1x_1|\lambda_2x_2|\dots|\lambda_nx_n]\\ & A[x_1|x_2|\dots|x_n] = [x_1|x_2|\dots|x_n]\begin{pmatrix} & \lambda_1 \\ & \quad & \lambda_2 \\ & \quad & \quad & \dots \\ & \quad & \quad & \quad & \lambda_n & \end{pmatrix} 令P=[x_1|x_2|\dots|x_n]\\\\ & AP = P\begin{pmatrix} & \lambda_1 \\ & \quad & \lambda_2 \\ & \quad & \quad & \dots \\ & \quad & \quad & \quad & \lambda_n & \end{pmatrix}\\ & P^{-1}AP = \begin{pmatrix} & \lambda_1 \\ & \quad & \lambda_2 \\ & \quad & \quad & \dots \\ & \quad & \quad & \quad & \lambda_n & \end{pmatrix} & \end{aligned} nAAn线APP1AP=λ1λ2λnAP=Pλ1λ2λnPP=[x1x2xn]A[x1x2xn]=[x1x2xn]λ1λ2λn[Ax1Ax2Axn]=[λ1x1λ2x2λnxn]Axi=λixiPxi线An线An线Axi=λixixi线[Ax1Ax2Axn]=[λ1x1λ2x2λnxn]A[x1x2xn]=[x1x2xn]λ1λ2λnP=[x1x2xn]AP=Pλ1λ2λnP1AP=λ1λ2λn

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