线段树的应用

定义线段树在区间[i, j] 上如下： 
第一个节点维护着区间 [i, j] 的信息。 

if i<j , 那么左孩子维护着区间[i, (i+j)/2] 的信息，右孩子维护着区间[(i+j)/2+1, j] 的信息。 

应用范围：对一个区间整体进行操作，如寻找最大(小)值，整体加一个数，整体改变。

线段树有如下应用：

1. Range Minimum Query( RMQ )问题:

    参见：http://blog.youkuaiyun.com/in_han/article/details/11493843

    M[ node ]: 每个节点的意义：存储数组A中下标在[i, j]范围内的最小值的下标。

2. 线段覆盖:

在所有不大于30000的自然数范围内讨论一个问题，已知n条线段，把端点依次输入给你，然后有m（<=30000）个询问，每个询问输入一个点，要求这个点在多少天线段上出现过( 而不是一个线段, 线段如何解决呢？化为该线段包含点的最小值? )，这个题也是线段树的一个很典型的应用。

解法是：首先我们要建立起来30000区间的线段树，在每一个线段树的节点里面，维持一个变量，叫做cnt。然后将n条线段分别插入到建立起来的线段树中，利用区间查询，每一个查询到节点的cnt值加上1.然后查询某个树的时候，直接把这个树从根节点到叶节点的所有的cnt加在一起就可以了。

因为n条线段是固定的，所以某种程度上说每次都把n条线段查一遍有大量的重复和浪费；

线段树就是可以解决这类问题的数据结构

举例说明：已知线段[2,5] [4,6] [0,7]；求点2,4,7分别出现了多少次

在[0,7]区间上建立一棵满二叉树：（为了和已知线段区别，用【】表示线段树中的线段）

                                               【0,7】
                               /                                            \
                     【0,3】                                           【4,7】
                  /               \                                    /                \
       【0,1】             【2,3】                 【4,5】               【6,7】
         /      \                 /      \                     /      \                   /      \
【0,0】 【1,1】【2,2】 【3,3】   【4,4】 【5,5】 【6,6】 【7,7】

每个节点用结构体：

struct line
{
      int left,right;//左端点、右端点
      int n;//记录这条线段出现了多少次，默认为0
}a[16];

和堆类似，满二叉树的性质决定a[i]的左儿子是a[2*i]、右儿子是a[2*i+1];

然后对于已知的线段依次进行插入操作：

从树根开始调用递归函数insert

void insert(int s,int t,int step)//要插入的线段的左端点和右端点、以及当前线段树中的某条线段
{
      if (s==a[step].left && t==a[step].right)
      {
            a[step].n++;//插入的线段匹配则此条线段的记录+1
            return;//插入结束返回
      }
      if (a[step].left==a[step].right)   return;//当前线段树的线段没有儿子，插入结束返回
      int mid=(a[step].left+a[step].right)/2;
      if (mid>=t)    insert(s,t,step*2);//如果中点在t的右边，则应该插入到左儿子
      else if (mid<s)    insert(s,t,step*2+1);//如果中点在s的左边，则应该插入到右儿子
      else//否则，中点一定在s和t之间，把待插线段分成两半分别插到左右儿子里面
      {
            insert(s,mid,step*2);
            insert(mid+1,t,step*2+1);
      }
}

三条已知线段插入过程：

[2,5]

--[2,5]与【0,7】比较，分成两部分：[2,3]插到左儿子【0,3】，[4,5]插到右儿子【4,7】

--[2,3]与【0,3】比较，插到右儿子【2,3】；[4,5]和【4,7】比较，插到左儿子【4,5】

--[2,3]与【2,3】匹配，【2,3】记录+1；[4,5]与【4,5】匹配，【4,5】记录+1

[4,6]

--[4,6]与【0,7】比较，插到右儿子【4,7】

--[4,6]与【4,7】比较，分成两部分，[4,5]插到左儿子【4,5】；[6,6]插到右儿子【6,7】

--[4,5]与【4,5】匹配，【4,5】记录+1；[6,6]与【6,7】比较，插到左儿子【6,6】

--[6,6]与【6,6】匹配，【6,6】记录+1

[0,7]

--[0,7]与【0,7】匹配，【0,7】记录+1

插入过程结束，线段树上的记录如下（红色数字为每条线段的记录n）：

                                               【0,7】
                                                    1
                               /                                            \
                     【0,3】                                           【4,7】
                         0                                                     0
                 /                 \                                     /                 \
       【0,1】                 【2,3】                【4,5】                【6,7】
            0                           1                          2                         0
          /    \                      /      \                     /     \                    /      \
【0,0】 【1,1】 【2,2】 【3,3】 【4,4】 【5,5】 【6,6】 【7,7】
     0            0            0            0            0            0           1           0

询问操作和插入操作类似，也是递归过程，略

2——依次把【0,7】 【0,3】 【2,3】 【2,2】的记录n加起来，结果为2

4——依次把【0,7】 【4,7】 【4,5】 【4,4】的记录n加起来，结果为3

7——依次把【0,7】 【4,7】 【6,7】 【7,7】的记录n加起来，结果为1

线段是固定的，所以某种程度上说每次都把n条线段查一遍有大量的重复和浪费；

线段树就是可以解决这类问题的数据结构

举例说明：已知线段[2,5] [4,6] [0,7]；求点2,4,7分别出现了多少次

在[0,7]区间上建立一棵满二叉树：（为了和已知线段区别，用【】表示线段树中的线段）

                                               【0,7】
                               /                                            \
                     【0,3】                                           【4,7】
                  /               \                                    /                \
       【0,1】             【2,3】                 【4,5】               【6,7】
         /      \                 /      \                     /      \                   /      \
【0,0】 【1,1】【2,2】 【3,3】   【4,4】 【5,5】 【6,6】 【7,7】

每个节点用结构体：

struct line
{
      int left,right;//左端点、右端点
      int n;//记录这条线段出现了多少次，默认为0
}a[16];

和堆类似，满二叉树的性质决定a[i]的左儿子是a[2*i]、右儿子是a[2*i+1];

然后对于已知的线段依次进行插入操作：

从树根开始调用递归函数insert

void insert(int s,int t,int step)//要插入的线段的左端点和右端点、以及当前线段树中的某条线段
{
      if (s==a[step].left && t==a[step].right)
      {
            a[step].n++;//插入的线段匹配则此条线段的记录+1
            return;//插入结束返回
      }
      if (a[step].left==a[step].right)   return;//当前线段树的线段没有儿子，插入结束返回
      int mid=(a[step].left+a[step].right)/2;
      if (mid>=t)    insert(s,t,step*2);//如果中点在t的右边，则应该插入到左儿子
      else if (mid<s)    insert(s,t,step*2+1);//如果中点在s的左边，则应该插入到右儿子
      else//否则，中点一定在s和t之间，把待插线段分成两半分别插到左右儿子里面
      {
            insert(s,mid,step*2);
            insert(mid+1,t,step*2+1);
      }
}

三条已知线段插入过程：

[2,5]

--[2,5]与【0,7】比较，分成两部分：[2,3]插到左儿子【0,3】，[4,5]插到右儿子【4,7】

--[2,3]与【0,3】比较，插到右儿子【2,3】；[4,5]和【4,7】比较，插到左儿子【4,5】

--[2,3]与【2,3】匹配，【2,3】记录+1；[4,5]与【4,5】匹配，【4,5】记录+1

[4,6]

--[4,6]与【0,7】比较，插到右儿子【4,7】

--[4,6]与【4,7】比较，分成两部分，[4,5]插到左儿子【4,5】；[6,6]插到右儿子【6,7】

--[4,5]与【4,5】匹配，【4,5】记录+1；[6,6]与【6,7】比较，插到左儿子【6,6】

--[6,6]与【6,6】匹配，【6,6】记录+1

[0,7]

--[0,7]与【0,7】匹配，【0,7】记录+1

插入过程结束，线段树上的记录如下（红色数字为每条线段的记录n）：

                                               【0,7】
                                                    1
                               /                                            \
                     【0,3】                                           【4,7】
                         0                                                     0
                 /                 \                                     /                 \
       【0,1】                 【2,3】                【4,5】                【6,7】
            0                           1                          2                         0
          /    \                      /      \                     /     \                    /      \
【0,0】 【1,1】 【2,2】 【3,3】 【4,4】 【5,5】 【6,6】 【7,7】
     0            0            0            0            0            0           1           0

询问操作和插入操作类似，也是递归过程，略

2——依次把【0,7】 【0,3】 【2,3】 【2,2】的记录n加起来，结果为2

4——依次把【0,7】 【4,7】 【4,5】 【4,4】的记录n加起来，结果为3

7——依次把【0,7】 【4,7】 【6,7】 【7,7】的记录n加起来，结果为1

3. 列车员售票：

某列车途径C个城市，城市编号分别为1到C，列车上共有S个座位，铁路局规定售出的票只能是坐票（貌似与现实不太符合啊，呵呵），即车上的所有旅客都有坐。售票系统是由计算机执行的。每个售票申请包含3个参数，分别用O，D，N表示，O为起始点，D为目标节点，N为票数，售票系统对这次申请做出受理或不受理的回答。只要当有O到D一段的座位>=N的时候，才受理请求。

解答：我们可以把所有的车站放置数轴上，在每个节点维护两个值，delta和剩余值，然后依次对售票请求进行插入，进行区间修改和查询，没插入一请求，相应得给这个点的delta设置成标示位。查询的时候，就找所有区间中的最大值。看看与N来进行比较。每插入一个请求，就是将区间上所有结点加上一个数。delta的作用？?

4. 线段染色：

有一条直线，每次把其中的一段染成某种颜色，要求输出最终的染色情况。

解答：这道题，其实我们将直线离散化，然后进行标记。如果一段区间被染上了相同的颜色，那么只要在节点上做一个标记即可，这表明这个区间现在被染上了标记所代表的颜色。