动态规划-01背包（1）

        bp，就是backpack问题，背包问题，也可以称作是knapsack问题。

        首先是最简单的背包问题，连续性背包问题，主要用的是贪婪算法（greedy algorithm）。

Problem：

        你是一个小偷，有8磅重的背包，你进入了一个人的家里，看到了3kg的金沙，4kg的银子，10kg的葡萄干。你有一个8kg的背包，你应该怎么拿使价值最大。

Answer：

       典型的贪婪算法，先3kg金子，再4kg银子，再1kg葡萄干。不给出代码_(:з」∠)_

        上面的这个问题，可以说是一个连续的问题，

        而接下来的问题，涉及到了动态规划dynamic programming。

        动态规划涉及到两个问题：一个是找到重叠子，二是最优子结构。

        讨论一下重叠子，其实就是重叠的部分，这里面最典型的例子就是递归。斐波拉契数列用递归计算的话，里面就有很多重叠的地方。假设我们知道第一个和第二个，如果我们要算第n个，那么我们只需要计算n-2次，而递归的机制就很麻烦，不说机制，数据说明一切。

        n从3开始到10，次数依次是3 5 9 15 25 41 67 109，当n到30的时候，次数就达到了1664079，这样的计算方式是很耗费时间的，这在ACM这个抢时间的游戏中是不适用的。因为这之中有太多的重叠的地方。这时其实有个很简单的改变，把重复使用的数据“缓存”下来即可。

       原递归斐波拉契数列函数：

      

int fab(int a){
    if(a==1 || a==2)
        return 1;
    else
        return (f(a-1)+f(a-2));
}

      
       这种递归的方式速度慢，所以不采纳。
       至于更改，采用迭代，从最小的开始就好了。

       正式进入正题，动态规划。

       当有一个最优子结构，并且局部解决方案有重叠时，就可以考虑采取动规。

       现在讨论01背包的问题，就用我们oj上的题目采药1033

       先手动的写一张图出来，就用我们sample的数据，这里仔细叙述流程。

       1.在山洞里只有5株草药，我们编号1到5，分别对应1到5行，每一株都有各自的采摘时间和价值。

       2.从5号草药开始，我们从表格从左往右写，99和100是90，其余的都是0。

       3.类推2，写出4号，0到49是0，50到92是46，而99和100，还是90，因为90比较大。

       4.类推3，就可以找出一个递推式。

       我们设整个的价值表格是c[M][T]，M就是草药的棵数，草药一棵棵的来，在设定两个一维数组，t[M]和v[M]，分别存储的是草药的采摘时间和价值，这样我们从第一株开始，也就是M=1，M++。每次循环是T=0，T++。

       则可以得到表达式：

      c[M][T] = max(c[M+1][T], c[M+1][T+t[M]]+v[M])

       动态规划的题主要就是找到上面这个表达式，我们取消掉仅做参考用的M，只使用一维数组，下面列出代码：

#include<iostream>
using namespace std;
#define max(a,b) ((a)>(b)?(a):(b))

int main(){
    int c[1001] = {0};
    int T, M, i, j ,v, n;
    cin>>T>>M;
    for(i=1; i<=M; i++){
        cin>>n>>v;
        for(j=T; j>=n; j--)
            if(c[j-n] + v > c[j])
                c[j] = c[j-n] + v;
    }
    cout << c[T] << endl;
	return 0;
}