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第九章动态规划

动态规划，英文：Dynamic Programming，简称DP，如果某一问题有很多重叠子问题，使用动态规划是最有效的。所以动态规划中每一个状态一定是由上一个状态推导出来的，这一点就区分于贪心，贪心没有状态推导，而是从局部直接选最优的

动态规划的解题步骤：

确定dp数组（dp table）以及下标的含义
确定递推公式
dp数组如何初始化
确定遍历顺序
举例推导dp数组

509. 斐波那契数

确定dp数组以及下标的含义

dp[i]的定义为：第i个数的斐波那契数值是dp[i]

2. 确定递推公式 状态转移方程 dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];、

3：dp数组如何初始化 dp[0] =1, dp[1] = 1

4 : 确定遍历顺序

从递归公式dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];中可以看出，dp[i]是依赖 dp[i - 1] 和 dp[i - 2]，那么遍历的顺序一定是从前到后遍历的

class Solution {
    public int fib(int n) {
        if (n < 2) return n;
        int a = 0, b = 1, c = 0;
        for (int i = 1; i < n; i++) {
            c = a + b;
            a = b;
            b = c;
        }
        return c;
    }
}

70. 爬楼梯

假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。

每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？

确定dp数组以及下标的含义

dp[i]：爬到第i层楼梯，有dp[i]种方法

2. 确定递推公式

从dp[i]的定义可以看出，dp[i] 可以有两个方向推出来。

首先是dp[i - 1]，上i-1层楼梯，有dp[i - 1]种方法，那么再一步跳一个台阶不就是dp[i]了么。

还有就是dp[i - 2]，上i-2层楼梯，有dp[i - 2]种方法，那么再一步跳两个台阶不就是dp[i]了么。

那么dp[i]就是 dp[i - 1]与dp[i - 2]之和！

所以dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2] 。

3. dp数组如何初始化

dp[1] = 1，dp[2] = 2，这个初始化大家应该都没有争议的。

所以我的原则是：不考虑dp[0]如果初始化，只初始化dp[1] = 1，dp[2] = 2，然后从i = 3开始递推，这样才符合dp[i]的定义。

4 确定遍历顺序

从递推公式dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];中可以看出，遍历顺序一定是从前向后遍历的

class Solution {
    public int climbStairs(int n) {
        if(n <= 2) return n;
        int[] dp = new int[n+1];
        dp[0] = 1;
        dp[1] = 1;
        for(int i = 2; i<= n; i++){
            dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2];
        }
        return dp[n];
    }
}

746. 使用最小花费爬楼梯

每当你爬上一个阶梯你都要花费对应的体力值，一旦支付了相应的体力值，你就可以选择向上爬一个阶梯或者爬两个阶梯

从题目描述可以看出：要不是第一步不需要花费体力，要不就是第最后一步不需要花费体力，我个人理解：题意说的其实是第一步是要支付费用的！。因为是当你爬上一个台阶就要花费对应的体力值！

所以我定义的dp[i]意思是也是第一步是要花费体力的，最后一步不用花费体力了，因为已经支付了。

当然也可以样，定义dp[i]为:第一步是不花费体力，最后一步是花费体力的。
确定递推公式: 如何到达dp[i] ?
可以从下标 i-1 使用cost[i−1] 的花费达到下标 i，或者从下标 i-2 使用 cost[i−2] 的花费达到下标 i,找到最小值
dp初始化 dp[0] = 1, dp[1] =0

4 确定遍历顺序

遍历顺序一定是从前向后遍历的

class Solution {
    public int minCostClimbingStairs(int[] cost) {
        int len = cost.length;
        int[] dp = new int[len + 1];

        // 从下标为 0 或下标为 1 的台阶开始，因此支付费用为0
        dp[0] = 0;
        dp[1] = 0;

        // 计算到达每一层台阶的最小费用
        for (int i = 2; i <= len; i++) {
            dp[i] = Math.min(dp[i - 1] + cost[i - 1], dp[i - 2] + cost[i - 2]);
        }

        return dp[len];
    }
}