HDU 2554 N对数的排列问题数论

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本文详细介绍了如何通过数学抽象和公式推导解决HDU 2554中的排列组合问题，包括求和运算、位置分配和条件验证，最终给出程序实现的代码。

题目地址： http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2554

这题可以这样来抽象：

n对数，大小为1、2、3、...、n。现要求两个1之间有1个数，两个2之间有2个数，以此类推，两个n之间有n个数。

并且，数的次序可以随意的。

解决之道：

准备知识：

①n对数，共2*n个数。所以要有2*n个位置来放置这2*n个数。②sum()表示求和运算。

正式解决：

①设k（k=1,2,..,n)放置的第一个位置为ak，第二个位置为bk。显然有bk-ak=k+1（假定下一个位置在上一个位置之前）。

那么会有sum(bk-ak)=2+3+4+...+(n+1)=(1+2+3+...+n)+(1+1+...+1)=n*(n+1)/2+n。

②又因为要有2*n个位置来放置这2*n个数。则sum(ak+bk)=1+2+3+...+2*n=(1+2*n)*(2*n)/2=(1+2*n)*n。

③sum(ak+bk)=sum(ak+ak+k+1)=sum(2*ak+bk-ak)=2*sum(ak)+sum(bk-ak)=2*sum(ak)+n*(n+1)/2+n。

④比较②③可得：(1+2*n)*n=2*sum(ak)+n*(n+1)/2+n。可得sum(ak)=n*(3*n-1)/4。

⑤就像前面已经说过的一样，ak表示数k第一次出现的位置。ak不易确定。当可以肯定的是sum(ak)一定为正整数。

那么就会有n=4*p或者3*n-1=4*p（p为正整数）。

代码如下：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <string>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <set>
#include <map>
#include <queue>
using namespace std;

/*
freopen("input.txt",  "r", stdin);  //读数据
freopen("output.txt", "w", stdout); //注释掉此句则输出到控制台
*/

int main()
{
	int n;
    while(cin>>n,n)
    {
        if(n%4==0||(3*n-1)%4==0)
            printf("Y\n");
        else
            printf("N\n");
    }
	return 520;
}