rsa算法

欧拉函数：对于正整数n，表示不超过n且和n互素的正整数个数。

         若m，n互质，。

         若n为质数，。

欧拉定理：若n，a为正整数，且n，a互质，则：。

证：对于从1-n中与n互质的数，由小到大排列。

记

1）对于任意，它们对n取模后的余数都不相同。

假设存在

则有，即能被n整除，又有a与n互质，小于n，假设不成立。

即有任意，它们对n取模后的余数都不相同。

2）任意与n互质。

假设余数与n有公因子r，则，即与n非互质，假设不成立。

所以除以n的余数在中。

由条件1）和2）可以得到

其中

由k与n互质可得，证毕。

一个取模运算：(a^b)%c=((a%c)^b)%c。

rsa算法：

        对于两个质数p，q，记n=pq。

        则，

        寻找一个数e使得1<e<，且e和互质。

        再有数d满足。

       （由于e和互质，根据欧拉定理d一种取值是）

        其中(n，e)为公钥。(n，d)为私钥。

        对m加密：           (1)       （注意m小于n，m大于n时？？？？）

        对c解密：              (2)

  证：要证明成立，以为条件，

         可得：              (3)

         将（3）带入（2）中可得：      (4)  

         要证（4）成立即证：         (5)

         又由条件可得       (6)

         将（6）带入（5）中可得         (7)

         因此只需证明（7）成立便可。

当m和n互质时：

      有     可由模运算得到 。得证。

当m和n非互质时：

      由于n=pq，则可记m=kp。

      而且k和q互质：

               反证法：由于q为质数，如k与q非互质，则有k=sq，又从上文可知m<n，m=kp=sqp>n。矛盾。

      由于k和q互质，有式：成立，可构建式，

      根据式（6）有，

      可得             （8），

      此处t必能被p整除（将式（8）两边同时除以p即可），记，

      带入（8）得：，

      又由m=kp，n=pq，可得

      证毕。