一种现金流映射法-优快云博客

本文介绍了如何将非标准期限的债券现金流映射到标准期限的零息债上，并利用给定的利率、波动率和相关系数计算债券价格及风险敏感度，最终通过公式求解债券的VAR值。

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该方法将一支债券映射到标准期限的零息债上。（原文为：A Cash-Flow Mapping Procedure. John Hull）

考虑一支本金为100万，年利率为10%，半年付息的债券，并于0.8年后到期。则在0.3年后有一笔5万的现金流，0.8年后有一笔105万的现金流（包含本金）。0.3年的现金流可以映射到3个月和6个月的零息债上，0.8年的现金流可以映射到6个月和1年的零息债上。

现考虑0.8年后的现金流，假定零息债的零息利率（即期利率），债券价格的日波动率以及每个债之间的相关系数如下：

	3个月	6个月	1年
零息利率（%）	5.50	6.00	7.00
日波动率（%）	0.06	0.10	0.20

	3个月	6个月	1年
3个月	1	0.9	0.6
6个月	0.9	1	0.7
1年	0.6	0.7	1

根据6个月的利率6%和1年的利率7%，可以求得0.8年的利率为6.6%。同理得到日波动率为0.16%

对现金流折现有： $\frac{1050000}{1.066^{0.8}}=997662$ （1）

记a为现值划分给6月期债券的部分，1-a为划分给1年期债券的部分。

根据公式： $\sigma _{x+y}^{2}=\sigma _{x}^{2}+\sigma _{y}^{2}+2\rho \sigma _{y}\sigma _{x}$ （2）

可以求得a为0.320337，即6月期的债券价值为319589，1年期的债券价值为678074，

同理可得到0.3年的现金流可分为3月期的债券价值37397，6月期的债券价值11793，

再根据公式： $var=\sum a_{i}a_{j}\sigma _{i}\sigma _{j}\rho _{ij}$ （3）

可以求得0.8年期债券的方差为2628518， $a_{i}$ 为对应期限的债券价值。

alpha = np.array([[37397, 331382, 678074]])
sigma = np.array([[0.0006, 0.001, 0.002]])
rho_1_2 = 0.9
rho_1_3 = 0.6
rho_2_3 = 0.7
rho = np.array([[1, rho_1_2, rho_1_3],
               [rho_1_2, 1, rho_2_3],
               [rho_1_3, rho_2_3, 1]])
v1 = alpha * sigma
res = np.vdot(np.dot(v1.T, v1), rho)
print(res)

至此我们可以根据： $\sigma \sqrt{\Delta t}*N^{-1}(\alpha )$ （4）