数学建模--熵权法

一.概念

熵是系统无序程度的一个度量，通过熵值判断某个指标的离散程度，越大，即权重就越大，如果某项指标的值全部相等，即该指标在综合评价中不起作用
熵权法是一种客观的赋权方法，依靠数据本身得出权重
原理：指标的变异程度越小，反映的信息量也越少，其对应的权值也越低

二、计算步骤

（一）数据标准化

• 正向化：将极小型、中间型、区间型指标转换为极大型指标，如极小型指标通过 x' = max(x) - x 转换（不同类型指标转换公式有别 ）。
• 归一化：消除量纲影响，常用 $p_{i}j=x_{i}j/sum(x_{i}j)$（$x_{i}j$ 为正向化后数据 ），使 p_ij 满足 0 ≤ p_ij ≤ 1 且 sum(p_ij) = 1 。

（二）计算指标熵值

公式为 $e_j=-k\ast sum(p_{i}j\ast ln(p_{i}j))$ ，其中 k = 1 / ln(n)（n 为样本数量 ），e_j 越小，指标区分能力越强。

（三）计算指标差异系数

$g_j=1-e_j$，差异系数越大，指标对综合评价贡献越大。

（四）确定指标权重

$w_j=g_j/sum(g_j)$ ，权重反映指标重要程度，用于综合评价计算。

三、Python 实现

import numpy as np
import math
data = np.array([[10, 20, 30],
                 [12, 22, 28],
                 [8, 18, 32]])

#正向化（假设均为极大型指标，无需转换，若有其他类型需对应处理）
positive_data = data

#归一化
p = positive_data / positive_data.sum(axis=0)

#计算熵值
n, m = data.shape
k = 1 / math.log(n)
e = -k * np.sum(p * np.log(p + 1e-10), axis=0)  # 加小量避免 log(0) 错误

#计算差异系数与权重
g = 1 - e
w = g / g.sum()

print("指标权重：", w)

四、应用

适用于多指标综合评价，如绩效评估、方案选优、竞争力分析等，需要客观权重体现指标重要性的场景。