35、变换模型中的学习、推理与应用

变换模型中的学习、推理与应用

1. 变换模型中的学习

1.1 线性变换学习

在解决某些问题时，我们可以将 $\Phi w_i + \tau$ 重新表示为 $\Phi$ 和 $\tau$ 未知元素的线性函数：
$\Phi w_i + \tau =
\begin{bmatrix}
u_i & v_i & 1 & 0 & 0 & 0 \
0 & 0 & 0 & u_i & v_i & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\varphi_{11} \
\varphi_{12} \
\tau_x \
\varphi_{21} \
\varphi_{22} \
\tau_y
\end{bmatrix}
= A_i b$
其中，$A_i$ 是基于点 $w_i$ 的 $2\times6$ 矩阵，$b$ 包含未知参数。此时问题可写为：
$\hat{b} = \arg\min_{b} \left[ \sum_{i=1}^{I} (x_i - A_i b)^T (x_i - A_i b) \right]$
这是一个线性最小二乘问题，可轻松求解。

1.2 投影参数学习

投影变换或单应性由一个 $3\times3$ 矩阵 $\Phi$ 参数化，由于存在尺度歧义，共有 8 个自由度。因此，我们至少需要 $I = 4$ 对对应点才能得到唯一解。学习问题可表述为：
$\hat{\Phi} = \arg