《代码随想录》Ⅶ 回溯算法-组合 77. 组合-优快云博客

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《代码随想录》Ⅶ 回溯算法-组合 77. 组合

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努力学习！

题目：力扣链接

给定两个整数 n 和 k，返回范围 [1, n] 中所有可能的 k 个数的组合。

你可以按 任何顺序 返回答案。

一、思想

这道题的核心思想是使用回溯算法来生成所有可能的组合。回溯算法是一种通过递归来探索所有可能解的算法，通常用于解决组合、排列、子集等问题。在这道题中，我们需要从范围 [1, n] 中选择 k 个数的所有可能组合。

具体来说，回溯算法的思路如下：

选择：从当前可选的数字中选择一个数字，并将其添加到当前路径中。
递归：继续选择下一个数字，直到路径中的数字个数达到 k。
回溯：当路径中的数字个数达到 k 时，将当前路径添加到结果集中，并回溯到上一步，继续选择其他可能的数字。

通过这种方式，我们可以遍历所有可能的组合，并确保每个组合都是唯一的。

二、代码

class Solution
{
public:
    /**
     * 存放符合条件结果的集合
     */
    vector<vector<int>> result;
    /**
     * 用来存放符合条件结果
     */
    vector<int> path;
    /**
     * 回溯函数，用于生成所有可能的组合
     * @param n 数字上限
     * @param k 组合元素个数
     * @param startIndex 起始索引
     */
    void backtracking(int n, int k, int startIndex)
    {
        // 如果路径长度等于k，说明找到了一个符合条件的组合，将其添加到结果集中
        if (path.size() == k) {
            result.push_back(path);
            return;
        }
        // 遍历从startIndex到n的所有数字
        for (int i = startIndex; i <= n - (k - path.size()) + 1; ++i) {
            // 将当前数字添加到路径中
            path.push_back(i);
            // 递归调用，寻找下一个数字
            backtracking(n, k, i + 1);
            // 回溯，将当前数字从路径中移除
            path.pop_back();
        }
    }
    /**
     * 生成所有可能的组合
     * @param n 数字上限
     * @param k 组合元素个数
     * @return 所有可能的组合
     */
    vector<vector<int>> combine(int n, int k)
    {
        // 清空结果集和路径
        result.clear();
        path.clear();
        // 调用回溯函数，生成所有可能的组合
        backtracking(n, k, 1);
        // 返回结果集
        return result;
    }
};

三、代码解析

1. 算法工作原理分解

1.1 回溯函数 `backtracking`

目的：递归地生成所有可能的组合。
实现：
- 终止条件：当路径中的数字个数等于 k 时，将当前路径添加到结果集中，并返回。
- 选择与递归：从 startIndex 开始遍历所有可能的数字，将当前数字添加到路径中，并递归调用 backtracking 函数，继续选择下一个数字。
- 回溯：在递归调用返回后，将当前数字从路径中移除，以便尝试其他可能的数字。

1.2 组合生成函数 `combine`

目的：初始化并调用回溯函数，生成所有可能的组合。
实现：
- 初始化：清空结果集和路径。
- 调用回溯函数：从数字 1 开始，调用 backtracking 函数生成所有可能的组合。
- 返回结果：返回生成的所有组合。

2. 关键点说明

2.1 路径的选择与回溯

路径：path 变量用于存储当前正在生成的组合。
选择：每次选择一个数字并将其添加到 path 中。
回溯：在递归调用返回后，将当前数字从 path 中移除，以便尝试其他可能的数字。

2.2 结果集的存储

结果集：result 变量用于存储所有符合条件的组合。
添加条件：当 path 中的数字个数等于 k 时，将 path 添加到 result 中。

2.3 剪枝

所以，可以剪枝的地方就在递归中每一层的for循环所选择的起始位置。
如果for循环选择的起始位置之后的元素个数已经不足我们需要的元素个数了，那么就没有必要搜索了。

四、复杂度分析

时间复杂度：O(C(n, k))
- 其中 C(n, k) 是从 n 个数字中选择 k 个数字的组合数。对于每个组合，我们需要 O(k) 的时间来生成，因此总时间复杂度为 O(C(n, k) * k)。
空间复杂度：O(k)
- 递归调用栈的深度最多为 k，因此空间复杂度为 O(k)。此外，结果集 result 的空间复杂度为 O(C(n, k) * k)，但在通常情况下，我们只考虑递归栈的空间复杂度。