树状数组区间修改区间求和总结

原创于 2017-07-23 11:14:05 发布 · 678 阅读

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本文介绍了一种通过构建辅助数组实现区间修改与查询的有效方法。利用差分数组c和辅助数组c2来支持区间修改和单点查询操作。通过简单的数学变换，文章详细解释了如何在不增加额外查询复杂度的情况下，高效地完成区间内的修改和查询。

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首先区间修改单点查询
原数组 $a[1],a[2]........a[n]$
我们构造一个数组 $c[1],c[2]........c[n]$
$c[1] = a[1]-a[0],c[2]=a[2]-a[1]..........c[n]=a[n]-a[n-1]$
那么我们要求 $a[i]$ 就是对 $c$ 数组求和到 $i$ 位置
区间修改 $[i，j] +v$ 的话就是在 $c$ 数组上做 $add(i,v)$ , $add(j+1,-v)$
想一下就很容易明白。

再就是区间修改，区间查询

我们先来看 $a[1]+a[2]+........+a[n]$
= $(c[1]) + (c[1]+c[2]) + ... + (c[1]+c[2]+...+c[n])$
= $n*c[1] + (n-1)*c[2] +... +c[n]$
= $n * (c[1]+c[2]+...+c[n]) - (0*c[1]+1*c[2]+...+(n-1)*c[n])$

我们的 $c$ 数组还是以前的含义，现在问题是我们还需要维护一个 $c_2$ 数组
$c_2$ 数组的含义是 $c_2[i] = (i-1)*c[i]$
这样我们就需要两个数组去维护就行了。
当我们修改某个区间 $[i,j]+v$ 的时候
只需要在 $c$ 数组上进行 $add(i,v)$ , $add(j+1,-v)$
在 $c_2$ 数组上进行 $add(i,(i-1)*v)$ , $add(j+1,(j-1)*v)$