树状数组( 单点修改/区间修改+区间求和+一维/二维）

最新推荐文章于 2020-07-27 16:30:37 发布

glassesq

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分类专栏：数据结构文章标签：数据结构

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树状数组(Binary Indexed Tree, Fenwick Tree)是一种高效的数据结构，用于单点修改和区间求和操作，复杂度为O(logn)。文章详细解释了树状数组的基本原理，包括一维情况下的单点修改和区间求和，以及如何扩展到区间修改和二维情况的应用。通过lowbit函数，实现了从低位到高位的更新，从而简化操作。" 73137231,6860141,Oracle 11g数据库安装图文教程,"['数据库', 'Oracle', '安装教程', 'Windows', 'JDK']

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树状数组(Binary Indexed Tree(BIT), Fenwick Tree)是一个查询和修改复杂度都为log(n)的数据结构。主要用于查询任意两位之间的所有元素之和，但是每次只能修改一个元素的值；经过简单修改可以在log(n)的复杂度下进行范围修改，但是这时只能查询其中一个元素的值。

首先照例附上树状数组的百度百科解释。实际上，经过“简单修改”可以做到区间修改与区间求和。树状数组，在你写线段树区间求和写的吐血的时候，是个不错的选择。

一维+单点修改+查询

我是一只树状数组

这张图片在很多树状数组的讲解中都有出现过。明确，c数组是我们的树状数组，a数组是我们的基础数组。我们所有的操作都是基于c数组上的，但是事实上题目所给我们的只有a数组。

区间求和操作，实际上可以转换为维护数组前缀和的操作。由树状数组的标准解释来说，树状数组天生就是为了维护数组前缀和的。

规定add(x,addtag)操作为将a[x]加上addtag,get_sum(x)操作为求a[1]-a[x]的和。

先从get_sum()操作讲起，从图中我们可以很简单的得到，c[]可以由多个c[]及a[]得到。例如c[8]=c[4]+c[6]+c[7]+a[8]。如果我们将c[4],c[6],c[7]，均表示为多个c[]及a[]的形式，最终我们会发现，我们得到c[8]=a[1]+a[2]+a[3]+a[4]+a[5]+a[6]+a[7]+a[8].

所以说get_sum(x)操作只需要输出c[x]吗？显然不是。

我们换一个例子。
c[7]=a[7]，而get_sum(7)显然不等于a[7]。经过观察发现，get_sum(7)=c[7]+c[6]+c[4]。我们仔细观察这张图，会发现一些无法用言语描述的奇妙规律。（当然你也很可能会描述）只要表示出这些规律我们就完成了任务，于是我们把这些数字写成二进制。

get_sum(111