Projective Geometric Algebra, PGA 射影几何代数. SIGGRAPH 2019 Course Notes. Chpt. 4

Projective Geometric Algebra 射影几何代数

参考并概括自 Geometric Algebra for Computer Graphics, Siggraph 2019 Course Notes, Charles G. Gunn 。

注：非翻译。跳过了第1, 2, 3的导入章节。本文图片均引用自参考文献。

Projective Geometric Algebra，射影几何代数，下面简称PGA，是欧式空间中处理几何关系的一套代数工具。几何的代数工具对于在现代工程学、CAD、VR、3D游戏、动画等各个相关领域非常重要。一般比较熟悉也是应用十分广泛的，是向量、线性代数、解析几何(Vector and Linear Algebra and Analytic Geometric, 简称VLAAG)的一套框架。而PGA是另一套现代方法，与传统的VLAAG方法有所不同，从另一个角度，另一个观点来求解欧式空间中的几何问题。

Chpt. 4 Immersive introduction to geometric algebra

几何代数的基本哲学就是：几何的运算都是数的运算(Geometric primitives behave like numbers)。在PGA中，基本形(geometric primitives. 点、直线、平面)等，由**外代数(exterior algebra)**中不同阶(grade)的向量表示，例如3D空间中：

• scalar: 0-vector
• plane: 1-vector
• lines : 2-vector
• point: 3-vector

每一阶的都构成一个向量代数空间（运算为加法和乘法）。几何代数的元素被称作多重向量(multivector)，是k-vector的“和”。一个multivector $M$的k阶部分，记作$⟨M{⟩}_k$。几何图元之间的关系通过**几何积(geometric product)**来表达。

下面举一些用PGA解决常见几何问题的形式化的例子，感受PGA方法的框架的运用。

Example 1. 3D空间中的点直线

目标任务：对三维欧式空间$E^3$中给定的一个点$P$，一个不经过该点的直线$\Pi$。找到唯一的直线$\Sigma$经过$P$点并和直线$\Pi$正交。

一个直线$\Pi$（2-vector），和一个点$P$(3-vector)，通过几何积$\Pi P$，包含了两个部分，一个1-vector，一个3-vector
$$\Pi P=⟨\Pi P{⟩}_1+⟨\Pi P{⟩}_3$$

1. $⟨\Pi P{⟩}_1$ 是垂直于直线$\Pi$过点$P$的平面，记作