快速幂

所谓的快速幂，实际上是快速幂取模的缩写，简单的说，就是快速的求一个幂式的模(余)。在程序设计过程中，经常要去求一些大数对于某个数的余数（素数测试），为了得到更快、计算范围更大的算法，产生了快速幂取模算法。

我们先从简单的例子入手：求a ^ b % c = ?

算法1.首先直接地来设计这个算法：

int ans = 1;
for(int i = 1;i<=b;i++)
{
	ans = ans * a;
}
ans = ans % c;

这个算法的时间复杂度体现在for循环中，为O(b).这个算法存在着明显的问题，如果a和b过大，很容易就会溢出。
那么，我们先来看看第一个改进方案，这个方案需要用到同余定理：

(a * b * c)  % mod =((a * b) % mod) * c % mod

既然某个因子取余之后相乘再取余保持余数不变，那么新算得的ans也可以进行取余，所以得到比较良好的改进版本。

于是不用思考的进行了改进：

算法2：

int ans = 1;
for(int i = 1;i<=b;i++)
{
	ans = ans * a;
        a = a % c; //加上这一句
}
ans = ans % c;

这个算法在时间复杂度上没有改进，仍为O(b)，不过已经好很多的，但是在c过大的条件下，还是很有可能超时，
所以，我们推出以下的快速幂算法。
1.如果b是偶数，我们可以记k = a^2 mod c，那么求k ^ (b/2) mod c就可以了。
2.如果b是奇数，我们也可以记k =a^2 mod c，那么求
(k^ (b/2) mod c * a ) mod c =(k^(b/2) mod c * a) mod c 就可以了。

于是我们可以加以改进得到快速幂算法

模板

int quitemod(int a, int b, int c)
{
	int ans = 1;
	a = a % c;
	while(b>0)
	{
		if(b % 2 = = 1)
		ans = (ans * a) % c;
		b = b/2;
		a = (a * a) % c;
	}
	return ans;
}