机器学习的数学基础

      近几年来，机器学习、深度学习、人工智能已经受到了越来越多的关注。业界的巨头们（IBM、google、Microsoft等）也推出了各自的开源机器学习/深度学习框架，例如Scikit、Caffe、Theano、TensorFlow、Apache MLlib等等（这里我没有将机器学习于深度学习详细区别开来，严格的讲，深度学习是机器学习领域中的一个子方向）。使得应用这些领域最新技术的门槛越来越低，方便了很多非计算机领域的工程师们，在自己的领域中使用机器学习软件或框架。但是，在学习这些软件或者框架时，总是被各种数学概念所困扰。所以，不禁要问，想要了解机器学习算法，究竟需要掌握多少数学知识？

      事实上，对数学的了解程度，完全取决于你对机器学习知识所要掌握的深度。如果只是将现成的软件拿来用，那么大学专科毕业就可以做到了。如果你需要选择那个算法、框架适合你当前任务的需要，并且需要知道调整算法中某个参数的值，那么大学 本科学习过线性代数、概率统计等课程就够了。以此类推，如果你还要理解机器学习的算法原理，并且能够修改算法，以更好适应任务的需要，那么就需要很系统的学习多个数学方向的知识了。

      本文就一般情况，大致罗列了机器学习领域所需要掌握的数学知识的范围。至于对其了解的深入程度，如上述，就需要根据自己情况决定了。并且，下面介绍时的先后顺序也代表了其重要性。

一、线性代数（Linear Algebra）

     Skyler Speakman曾说：“线性代数是21世纪的数学”，我完全赞同该论述。在机器学习领域，线性代数无处不在。机器学习对所处理的数据，常常是以向量或者矩阵的形式来表示的。继而，像主成分分析（PCA）、奇异值分解（SVD）、特征分解、LU分解、QR分解、对称矩阵、正交化&标准正交化、矩阵运算、投射、特征值&特征向量、向量空间和规范等，这些操作就非常普遍了。理解这些概念对理解机器学习算法，以及优化方法都是必须的。我最喜欢的线性代数课程是MIT的Gilbert Strang教授的。

二、概率论与数理统计（Probability Theory & Statistics）

     当前，大部分机器学习算法都是基于统计理论和方法的，尤其是机器学习应用于数据科学领域（数据挖掘、推荐系统）时。因此，机器学习需要的数理统计知识也是很多的。事实上，最近有人把机器学习定义为“在Mac上做数理统计”。机器学习需要的数理统计基础和概率论知识包括：概率规则&公理、贝叶斯定理、随机变量、方差和均值、条件和联合分别、标准分布（伯努利、二项、多项、统一和高斯）、矩母函数、最大似然估计（MLE）、先验和后验、最大后验估计（MAP）和采样方法。

三、多元微积分（Multivariate Calculus）

     必要的概念包括微积分、偏导数、向量函数、方向梯度、Hessian、Jacobian、Laplacian和Lagragian分布。

四、算法和复杂性优化（Algorithms & Complexity）

这对理解机器学习算法的计算效率和可扩展性以及数据集的开发稀疏性很重要。需要数据结构（二叉树、Hashing、Heap、Stack等等）的知识，以及动态编程、随机&次线性算法、图形、梯度/随机趋势、以及原对偶方法的知识。

附：本文参考了新智元文章“机器学习里，数学究竟多重要？”