15、最优停止问题：从理论到现实的决策智慧

最优停止问题：从理论到现实的决策智慧

1. 最优停止问题的起源与经典问题

最优停止问题在数学和现实生活中都有着广泛的应用。其最著名的谜题之一是秘书问题，它最早以“古戈尔游戏”的形式出现在印刷品中。1958 年，约翰·福克斯和杰拉尔德·马尼设计了这个游戏：第一个玩家在不同纸条上写下任意数量的独特正数，洗牌后逐一翻面，第二个玩家若能在某张纸条停下且该数是所有数中最大的，则获胜。福克斯最初认为第二个玩家的最优策略是等一半纸条翻面后，选择第一个比前半部分最大数还大的数，获胜概率约为 34.7%。

在此之前，1875 年英国数学家亚瑟·凯莱提出了一个类似的抽奖问题：有 n 张代表不同金额的彩票，一个人最多抽 k 次，每次抽完可选择是否继续，最终获得最后抽到彩票的价值，求在概率理论下最有利的抽奖策略和期望价值。后来利奥·莫泽对该问题进行了改进，增加了彩票价值在 0 到 1 之间均匀分布的条件。凯莱 - 莫泽问题与秘书问题的区别在于，前者关注的是所选数字的平均价值最大化，而后者追求找到最大数字的概率最大化。

莫泽在 1956 年的论文中不仅解决了凯莱 - 莫泽问题，还首次提及了最优停止问题在现实世界中的应用，如游客找旅馆和单身汉择偶问题。

2. 秘书问题的 37% 规则

经过研究，莫泽为加德纳提供了秘书问题的正确解决方案——37% 规则。该规则的推导过程是，对于 n 个申请人，计算基于前 k 个申请人设定标准最终选到最佳申请人的概率，用 k 与 n 的比值 p 表示，当 n 足够大时，选到最佳申请人的概率收敛于数学函数 -p log p，当 p = 1/e（e 约为 2.71828，1/e 约为 0.367879441，接近 37%）时，该函数取得最