8、优化难题与放松策略：寻找可行解的智慧

优化难题与放松策略：寻找可行解的智慧

1. 难解的优化现实

在生活中，我们常常会遇到各种优化问题。比如，2010 年，梅根·贝洛斯（Meghan Bellows）白天在普林斯顿大学攻读化学工程博士学位，研究如何在蛋白质链中放置氨基酸以获得具有特定特性的分子；晚上则为自己的婚礼筹备座位安排。婚礼座位安排问题看似简单，实则复杂，有 107 人、11 张桌子，可能的座位安排方案多达约 11¹⁰⁷ 种，这是一个 112 位的数字，远超可观测宇宙中的原子数量（仅 80 位）。即便使用高性能的实验室计算机集群，经过 36 小时的处理，也只能评估极小一部分可能的安排，难以找到真正的最优解。

再如，亚伯拉罕·林肯（Abraham Lincoln）曾作为“草原律师”，每年两次在伊利诺伊州斯普林菲尔德的第八司法巡回区巡回办案，需要规划一条访问所有必要城镇且里程最短、不重复访问城镇的路线，这就是著名的“旅行商问题”。该问题在 20 世纪 30 年代引起数学界关注，众多顶尖数学家为之痴迷，但随着城镇数量增加，可能的路线数量呈爆炸式增长，尝试所有路线的暴力解法时间复杂度为 O(n!)，几十年来，人们在解决这个问题上进展甚微。

2. 问题难度的界定

20 世纪 60 年代中期，埃德蒙兹（Edmonds）和艾伦·科巴姆（Alan Cobham）提出了科巴姆 - 埃德蒙兹论题，将算法运行在多项式时间（如 O(n²)、O(n³) 等）内的算法定义为“高效”算法。如果一个问题能用高效算法解决，则称其为“可处理”问题；反之，若不知道如何在多项式时间内解决，则为“难处理”问题。在大多数情况下，难处理问题对于计算机来说是难以解决的，无论计算机性能多强大。旅行商问题就与一类尚未被明确证明是否可高效解