小证明题 编译原理-->题目原型：

编译原理-->题目原型：
 
1，证明：即时通讯 用下面文法生成的所有二进制串的值都能被3整除（提示：对语法分析树的节点使用数学归纳法）。
 
num -> 11 | 1001 | num 0 | num num
 
2，上面文法是否能生成所有能被3整除的二进制串？

即时通讯：http://www.nanshan.biz/forum-38-1.html
 
 
1、分析：该文法的终止符集为{11,1001,0}，非终止符集为{num}，起始符号为num，规则集{num->11,num->1001,num->num 0,num->num num}，由以上文法得到的二进制串，转换成抽象语法树之后，其叶子节点一定是11或者1001，而如果向树的根节点按照规则生成二进制串，则产生的方式有以下两种。
 
 1）num 0
 
 2）num num。
 
因而，我们只需要证明num 0 和num num的组合可以被3整除即可。
 
因为假设前者可以被证明，则语法树的任何一个节点都可以被3整除，并且在此基础上，所有组合方式都可以被3整除，故可得到此文法所得到的所有二进制串都可以被3整除。
 
有了以上分析，那么证明过程非常简单。
 
 证明：step 1：11和1001都可以被3整除（不解释）。
 
step 2：若组合形式为num 0 ，因为 num 0 = 2 * num，故在step 1的前提下，num 0 的组合可以被3整除。
 
step 3：若组合形式为num num，设num num为num1 num2 ，且num2为n位二进制串，则num num = num1 num2 = (2的n次方) * num1 + num2 ，故在step 1的前提下，num num的组合可以被3整除。
 
step 4：综合step 1 、step 2 、step 3，由上述文法生成的所有二进制串都可以被3整除。
 
2、答案：非也，最显然的，0就无法由文法导出，另外非显然的，比如21=10101，也无法由文法导出，再比如给21乘个2，即42 = 101010，也无法导出，and so on。