小证明题编译原理-->题目原型：

最新推荐文章于 2024-12-03 21:48:42 发布

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本文通过数学归纳法证明了一种文法生成的所有二进制串的值都能被3整除。分析了文法结构和规则，展示了证明过程，指出该文法不能生成所有能被3整除的二进制串，并给出了反例。

编译原理-->题目原型：

1，证明：即时通讯用下面文法生成的所有二进制串的值都能被3整除（提示：对语法分析树的节点使用数学归纳法）。

num -> 11 | 1001 | num 0 | num num

2，上面文法是否能生成所有能被3整除的二进制串？

即时通讯：http://www.nanshan.biz/forum-38-1.html

1、分析：该文法的终止符集为{11,1001,0}，非终止符集为{num}，起始符号为num，规则集{num->11,num->1001,num->num 0,num->num num}，由以上文法得到的二进制串，转换成抽象语法树之后，其叶子节点一定是11或者1001，而如果向树的根节点按照规则生成二进制串，则产生的方式有以下两种。

1）num 0

2）num num。

因而，我们只需要证明num 0 和num num的组合可以被3整除即可。

因为假设前者可以被证明，则语法树的任何一个节点都可以被3整除，并且在此基础上，所有组合方式都可以被3整除，故可得到此文法所得到的所有二进制串都可以被3整除。

有了以上分析，那么证明过程非常简单。

证明：step 1：11和1001都可以被3整除（不解释）。

step 2：若组合形式为num 0 ，因为 num 0 = 2 * num，故在step 1的前提下，num 0 的组合可以被3整除。

step 3：若组合形式为num num，设num num为num1 num2 ，且num2为n位二进制串，则num num = num1 num2 = (2的n次方) * num1 + num2 ，故在step 1的前提下，num num的组合可以被3整除。

step 4：综合step 1 、step 2 、step 3，由上述文法生成的所有二进制串都可以被3整除。

2、答案：非也，最显然的，0就无法由文法导出，另外非显然的，比如21=10101，也无法由文法导出，再比如给21乘个2，即42 = 101010，也无法导出，and so on。