POJ 1265 Pick定理

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本文深入介绍了Pick公式及其在计算简单多边形面积的应用，并对比了其他常用的面积计算公式，如Heron公式、Brahmagupta公式和Bretschneider公式。同时，文章还简要概述了测量师公式及其连续化的潜力，为读者提供了一个全面的面积计算方法论视角。

Pick 定理，1899年

設 Γ 為平面上以格子點為頂點之單純多邊形，則其面積為

$\begin{displaymath}A=\frac{b}{2}+i-1\eqno{(8)}\end{displaymath}$

其中 b 為邊界上的格子點數，i 為內部的格子點數。(8)式叫做 Pick 公式。

/*
 *POJ 1265
 *fuqiang
 *几何,Pick定理
 *2013/8/7
*/
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <queue>
using namespace std;
#define INF 0x3f3f3f3f
const int maxn = 100+3;
int Abs(int n)
{
    return n>0?n:-n;
}
struct Point
{
    int x;
    int y;
}p[maxn];

int gcd(int x, int y)
{
    return y==0?x:gcd(y,x%y);
}
int grid_onedge(int n)  //在线上的格点
{
    int ret = 0;
    for(int i = 0; i < n; i++)
    {
        ret += gcd(Abs(p[i].x-p[(i+1)%n].x), Abs(p[i].y-p[(i+1)%n].y));
    }
    return ret;
}
int grid_inside(int n)  
{
    int ret = 0;
    for(int i = 0; i < n; i++)
    {
        ret += p[(i+1)%n].y * (p[i].x - p[(i+2)%n].x);
    }
    return Abs(ret);
}
int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("in","r",stdin);
#endif
    int T,Case = 1;
    int n,a,b;
    cin>>T;
    while(T--)
    {
        cin>>n;
        p[0].x = 0;
        p[0].y = 0;
        for(int i = 1; i <= n; i++)
        {
            cin>>a>>b;
            p[i%n].x = p[i-1].x + a;
            p[i%n].y = p[i-1].y + b;
        }
        int E = grid_onedge(n);
        int I = (grid_inside(n)-E)/2+1;  //内部格点数
        double A = E/2.0 + I -1;
        printf("Scenario #%d:\n%d %d %.1f\n\n",Case++,I,E,A);
    }
    return 0;
}

談求面積的 Pick 公式（第 6 頁）

其他的求面積公式

平面上的多邊形，有各式各樣的面積公式，端視所給的數據而定。除了本文所介紹的 Pick 公式之外，還有 Heron 公式與測量師公式，構成三足鼎立的求面積三個重要公式。

Heron 公式及其推廣

對於三角形的情形，如果已知三邊的長為 a,b,c，令 $s=\frac{1}{2}(a+b+c)$ ，則其面積為

$\begin{displaymath}\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \eqno{(14)}\end{displaymath}$

推廣到四邊形，有兩種情形(詳見參考資料11.蔡聰明，〈四邊形的面積〉，《數學傳播》第十七卷第三期民國八十二年)

(i)當四邊形的邊長為 a, b, c, d 且內接於一圓時，令 $s=\frac{1}{2}(a+b+c+d)$ ，則其面積為

$\begin{displaymath}\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}\eqno{(15)}\end{displaymath}$

這叫做Brahmagupta公式。

(ii)對於任意四邊形，其面積為

$\begin{displaymath}\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}-abcd\cos^2(\frac{B+D}{2}) \eqno{(16)}\end{displaymath}$

其中 B 與 D 為四邊形一對的對角。這叫做 Bretschneider 公式。值得注意的是，要再推廣到五邊形以上，就行不通了。

測量師公式 (A Surveyor's Formula)

一個 n 邊形 A₁, A₂,…, A_n，其頂點按逆時針方向來配置並且坐標為 A_k=(x_k,y_k)， k=1,2,…, n，則面積為

$\begin{displaymath}\frac{1}{2}\sum_{k=1}^n\left\vert\matrix{x_k & x_{k+1} \cry_k & y_{k+1} \cr}\right\vert\eqno{(17)}\end{displaymath}$

其中規定 x_n+1=x₁，且 y_n+1=y₁。

在上述三類公式中，要以測量師公式最具推廣潛力，因為它可以「連續化」。例如：

平面上逆時針方向的封閉曲線 x=x(t), y=y(t), $t\in[\alpha,\beta]$ ，所圍成領域的面積為：

$\begin{displaymath}\begin{eqalign}\frac{1}{2}\oint\left\vert\matrix{x & x+d......alpha}^{\beta}[x(t)y'(t)-y'(t)x(t)]dt\end{eqalign}\eqno{(18)}\end{displaymath}$