15、随机化树堆（Randomized Treaps）与二叉搜索树（BST）的性能分析

随机化树堆（Randomized Treaps）与二叉搜索树（BST）的性能分析

1. 随机化树堆高度的理论保证

随机化树堆是一种结合了二叉搜索树（BST）和堆特性的数据结构。通过数学推导，我们可以得出，在大量尝试中，随机化树堆高度的平均值为 $O(log(n))$，其中 $n$ 是存储的键的数量，且该结果与键的添加或删除顺序以及键的分布无关。具体推导涉及到调和级数的部分和，公式如下：
[
\begin{align }
E[D_k]&=\sum_{j = 1}^{n - k}\frac{1}{j}+\sum_{j = 1}^{k - 1}\frac{1}{j}-\sum_{j = 2}^{n - k}\frac{1}{j}-\sum_{j = 2}^{k - 1}\frac{1}{j}\
&=H_{k - 1}-H_{n - k}+ 2(k - 1)\
&<\ln(n - k)-2 + 2\ln(n)-2
\end{align }
]
这里 $H_n$ 表示调和级数，且 $H_n<\ln(n)$。

2. 树高分析测试

为了更深入了解随机化树堆的实际性能，我们进行了树高分析测试，测试包含以下三种场景：
- 场景一 ：创建大小不断增加的大树，键为随机整数，先进行初始插入操作，然后以 1:1 的比例进行随机删除和插入操作。
- 场景二 ：与场景一类似，但可能的键值限制在一个小的子集内（例如 0 到 100），这会导致树中出现多个重复键。
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