5、宇宙度量与演化：从哈勃历史到宇宙年龄的探索

宇宙度量与演化：从哈勃历史到宇宙年龄的探索

1. 哈勃历史：Hot

在宇宙学中，尺度因子 $a(t)$ 的时间演化由广义相对论的测地线方程决定，这些方程由空间的能量含量所定义。当使用状态方程来关联密度和压力时，在单一能量源占主导的情况下，对于 $H$ 的方程可以很容易地求解出 $\alpha(t) = a(t)/a_0 = a(t)/a(t_0)$。对于幂律形式 $a(t) \sim t^n$，$H_0t = (1 - n)$ 是常数。

在辐射主导（RD）时期，温度 $T$ 与 $\sqrt{t}$ 成比例；在物质主导（MD）时期，温度 $T$ 与 $t^{4/3}$ 成比例。具体公式如下：
- $\alpha_m = (3\sqrt{\Omega_mH_0t})^{2/3}$
- $\alpha_{\gamma} = (2\sqrt{\Omega_rH_0t})^{1/2}$
- $\alpha_{\Lambda} = \exp(\sqrt{\Omega_{\Lambda}H_0t})$

对于平坦的标准宇宙模型（SMC），有以下方程：
$\frac{d}{dt}a = H_0\sqrt{\Omega_m/a + \Omega_{\gamma}/a^2 + \Omega_{\Lambda}a^2}$
$(H/H_0)^2 = \Omega_m/a^3 + \Omega_{\gamma}/a^4 + \Omega_{\Lambda}$

当只有物质和辐射作为罗伯逊 - 沃克（R - W）度规的源时，$H_0t$ 有解析解，而不是之前所示的单个幂律行为。在脚本中，用户可以选择物质的数值贡献并观察图形的变化。注意到 $