【HNOI2008】BZOJ1004 Cards题解（置换群+DP）

题目：BZOJ1004.
题目大意：给定基于$n$个元素的$m$个置换组成置换群（未包含单位置换），要求给这$n$个元素染三种颜色使得第一种颜色数量为$sr$，第二种颜色数量为$sb$，第三种颜色数量为$sg$，求本质不同的染色方案数对$p$取模.
$1\le sr,sb,sg\le 20,1\le m\le 60,n=sr+sb+sg,m+1<p<100$.

这道题有了颜色数量的限制，不能直接使用Polya定理了.

考虑Polya定理的证明过程，我们也构造以染色方案作为元素构成的集合$S$，并构造基于$S$的置换群$G$.

此时我们发现只需要把染色方案中不满足颜色数量的踢出$S$就可以进行推导了.

为了套Burnside引理，我们需要计算经过某个置换$A$后不变的方案数，与Polya定理类似的，这个方案数也需要满足每一个轮换内部染色相同的条件.

此时我们可以把每一个轮换看成一个重量为它的长度的物品，现在把这些物品染色，需要满足染某个颜色的物品重量之和为对应的数量限制，用DP求出方案数即可套用Burnside引理.

时间复杂度$O(n^{4}m)$.

注意初始时没有单位置换，需要加入一个单位置换，并且最后的$\frac{1}{|G|}$中$|G|=m+1$.

代码如下：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define Abigail inline void
typedef long long LL;

const int N=60,M=20;

int mod;

int add(int a,int b){return a+b>=mod?a+b-mod:a+b;}
int sub(int a,int b){return a-b<0?a-b+mod:a-b;}
int mul(int a,int b){return (LL)a*b%mod;}
void sadd(int &a,int b){a=add(a,b);}
void ssub(int &a,int b){a=sub(a,b);}
void smul(int &a,int b){a=mul(a,b);}

int Power(int a,int k){
  int res=1;
  for (;k;k>>=1,smul(a,a))
    if (k&1) smul(res,a);
  return res;
}

int n,m,sr,sb,sg;

int p[N+9],vis[N+9];
int a[N+9],ca;

void Get_a(){
  for (int i=1;i<=n;++i) vis[i]=0;
  ca=0;
  for (int i=1;i<=n;++i)
    if (!vis[i]){
      a[++ca]=1;vis[i]=1;
      for (int j=p[i];j^i;j=p[j]) ++a[ca],vis[j]=1;
    }
}

int dp[M+9][M+9][M+9];

void Get_dp(){
  for (int i=0;i<=sr;++i)
    for (int j=0;j<=sb;++j)
      for (int k=0;k<=sg;++k) dp[i][j][k]=0;
  dp[0][0][0]=1;
  for (int i=1;i<=ca;++i)
    for (int j=sr;j>=0;--j)
      for (int k=sb;k>=0;--k)
        for (int t=sg;t>=0;--t){
          if (j>=a[i]) sadd(dp[j][k][t],dp[j-a[i]][k][t]);
          if (k>=a[i]) sadd(dp[j][k][t],dp[j][k-a[i]][t]);
          if (t>=a[i]) sadd(dp[j][k][t],dp[j][k][t-a[i]]);
        }
}

int ans;

Abigail into(){
  scanf("%d%d%d%d%d",&sr,&sb,&sg,&m,&mod);
  n=sr+sb+sg;
  for (int i=1;i<=m;++i){
  	for (int j=1;j<=n;++j)
  	  scanf("%d",&p[j]);
  	Get_a();
  	Get_dp();
  	sadd(ans,dp[sr][sb][sg]);
  }
}

Abigail work(){
  for (int i=1;i<=n;++i) p[i]=i;
  Get_a();
  Get_dp();
  sadd(ans,dp[sr][sb][sg]);
}


Abigail outo(){
  printf("%d\n",mul(ans,Power(m+1,mod-2)));
}

int main(){
  into();
  work();
  outo();
  return 0;
}