蓝书（算法竞赛进阶指南）刷题记录——Codeforces 451 E Devu and Flowers（容斥原理+Lucas定理）

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/hzk_cpp/article/details/88133498

本文详细解析了CF451E题目的算法思路，针对给定多种花束的组合问题，阐述了如何在限制条件下计算出选择特定数量花束的所有可能方案数。讨论了当所需花束数量小于等于或大于每种花束可用数量时的不同计算方法，以及如何通过枚举和组合数学原理来避免重复计数。

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题目：CF451E.
题目大意：给定 $n$ 种花，第 $i$ 种花有 $A_i$ 束，现在要选出 $m$ 束花，问方案数.
$1\leq n\leq 20,0\leq m\leq 10^{14},0\leq A_i\leq 10^{12}$ .

我们可以知道如果 $m\leq A_i$ ，那么方案数就是 $C_{n-1}^{n+m-1}$ .

如果 $m>A_i$ ，那么我们就需要把所有方案中有任意一种花 $i$ 选超过了 $A_i$ 束的全部去掉.

考虑对于任意一个 $i$ ，先选入 $A_i+1$ 束第 $i$ 种花，剩下还有 $C_{n-1}^{n+m-A_i-2}$ 中方案需要减去.然后发现这里面又有重复的，即有两种花 $i, j$ 都超过的，那么这样子的有方案数 $C_{n-1}^{n+m-A_i-A_j-3}$ 需要加上.以此类推.

具体如何实现只要 $O(2^n)$ 枚举每一个数，然后计算方案数，设选中的数为 $k$ ，则这一项的系数为 $1)^k$ ，并且同时计算组合数.不过由于组合数过大，需要用到Lucas把 $n + m - 1$ 对模数取模，而且组合数中下面部分太大，上面部分却很小，所以要用 $O (m)$ 复杂度递推 $C_{n}^{m}$ .

时间复杂度 $O(n2^n)$ .

代码如下：

#include<bits/stdc++.h>
  using namespace std;
  
#define Abigail inline void
typedef long long LL;

const int N=20;
const LL mod=1000000007;

int n;
LL m,a[N+9],inv[N+9],ans=0;

void pre_inv(int n){
  inv[1]=1;
  for (int i=2;i<=n;++i)
    inv[i]=(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod;
}

LL C(LL n,LL m){
  if (n<0||m<0||n<m) return 0;
  n%=mod;
  LL ans=1;
  for (LL i=1;i<=m;++i)
    ans=ans*inv[i]%mod*((n-i+1)%mod)%mod;
  return ans;
}

Abigail into(){
  scanf("%d%I64d",&n,&m);
  for (int i=1;i<=n;++i)
    scanf("%I64d",&a[i]);
}

Abigail work(){
  LL t,k;
  pre_inv(n);
  for (int i=0;i<1<<n;++i){
    t=n+m-1;k=1;
    for (int j=1;j<=n;++j)
	  if (i>>j-1&1) t-=a[j]+1,k=-k;
	ans+=k*C(t,(LL)n-1);
	ans=(ans%mod+mod)%mod;
  }
}

Abigail outo(){
  printf("%I64d\n",ans);
}

int main(){
  into();
  work();
  outo();
  return 0;
}