【NOIP2016提高】洛谷1850 换教室题解（概率期望+DP）

题目：luogu1850.
题目大意：给定$v$个教室，教室之间有$e$条无向边边，保证连通.现在有$n$组教室，每组有一个被钦定的教室和一个可以替换的教室，现在给你$m$次替换教室的机会，以及当你打算替换掉一组教室时成功的概率，让你求最后依次经过你选择的教室的期望路径最小值.
$1\le v\le 300,1\le n,m\le 2000$.

我觉得我的题目大意好像解释得不是很清晰…

模拟赛考真题的时候由于我没有写过概率DP，然后一直调这道题调了3h，T2部分分一点都没拿…

现在突然发现自己列的状态貌似不太主流，然后写的方式又细节极多，而且还是在我迷了很久期望的定义的情况写的…

我们现在来详解这道题.

首先我在考场列的状态是$f[i][j][k]$表示到第$i$个时段，用掉了$j$次机会，是否成功换掉了第$j$组教室的期望.

这个状态实际上是错误的，因为这个状态它已知是否申请成功，而题目上说是一次性提交的，说明不知道是否申请成功.

然后我们会发现这个东西列出方程后细节比较多，我们换一种转态.

我们依然设状态$f[i][j][k]$，但这是$k$表示的是否申请去换第$j$组教室.

那么容易列出方程，不过方程太长这里就不列出了.

当$i=j=0$时是要特殊处理的，$j>0$时$f[i][j][1]$时没有意义的，所以要判断.

代码如下：

#include<bits/stdc++.h>
  using namespace std;
#define Abigail inline void
typedef long long LL;
const int N=2000,V=300,INF=1<<29;
int dis[V+9][V+9];
int c[N+9],d[N+9];
double k[N+9],f[N+9][N+9][2],ans=INF*1.0;
int n,m,v,e;
void floyd(){
  for (int k=1;k<=v;k++)
    for (int i=1;i<=v;i++)
      for (int j=1;j<=v;j++)
        dis[i][j]=min(dis[i][j],dis[i][k]+dis[k][j]);
}
Abigail into(){
  scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&v,&e);
  for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&c[i]);
  for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&d[i]);
  for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%lf",&k[i]);
  for (int i=1;i<=v;i++)
    for (int j=1;j<=v;j++)
      if (i^j) dis[i][j]=INF;
  int x,y,z;
  for (int i=1;i<=e;i++){
    scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
    if (dis[x][y]<=z) continue;
    dis[x][y]=dis[y][x]=z;
  }
}
Abigail work(){
  floyd();
  for (int i=0;i<=n;i++)
    for (int j=0;j<=m;j++)
      f[i][j][0]=f[i][j][1]=INF*1.0;
  f[1][0][0]=0;f[1][1][1]=0;
  for (int i=2;i<=n;i++){
    f[i][0][0]=f[i-1][0][0]+dis[c[i-1]][c[i]];
    for (int j=1;j<=m;j++){
      f[i][j][0]=min(f[i][j][0],f[i-1][j][0]+dis[c[i-1]][c[i]]);
      f[i][j][0]=min(f[i][j][0],f[i-1][j][1]+dis[c[i-1]][c[i]]*(1-k[i-1])+dis[d[i-1]][c[i]]*k[i-1]);
      if (j>0) f[i][j][1]=min(f[i][j][1],f[i-1][j-1][0]+dis[c[i-1]][c[i]]*(1-k[i])+dis[c[i-1]][d[i]]*k[i]);
      if (j>0) f[i][j][1]=min(f[i][j][1],f[i-1][j-1][1]+dis[c[i-1]][c[i]]*(1-k[i-1])*(1-k[i])+dis[c[i-1]][d[i]]*(1-k[i-1])*k[i]+dis[d[i-1]][c[i]]*k[i-1]*(1-k[i])+dis[d[i-1]][d[i]]*k[i-1]*k[i]);
    }
  }
  for (int i=0;i<=m;i++)
    ans=min(ans,min(f[n][i][0],f[n][i][1]));
}
Abigail outo(){
  printf("%.2lf\n",ans);
}
int main(){
  into();
  work();
  outo();
  return 0;
}