蓝书（算法竞赛进阶指南）刷题记录——POJ3468 A Simple Problem with Intergers（树状数组维护差分）

题目：POJ3468.
题目大意：给定一个长度为$n$的序列$a$，要求支持：
1.格式$Cabc$，表示将$[a,b]$的权值都加上$c$.
2.格式$Qab$，表示查询$[a,b]$的权值和.
设操作数为$m$，那么$1\le n,m\le 10^5$.

线段树裸题，可是我们这里不用线段树，我们讨论树状数组的解法.

我们已经知道树状数组支持单点修改区间查询和区间修改单点查询，那么可不可以让树状数组支持区间修改区间查询呢？

我们现在继续将思路留在差分数组上，我们设$A$是$a$的差分数组，那么$A[1,n]$的和就是：
$$\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^{i}A[j]=\sum _{i=1}^{n}A[i]\ast (n-i+1).$$

我们发现这个东西用一个树状数组还是不好维护，我们可以再变式：
$$\sum _{i=1}^{n}A[i]\ast (n-i+1)=\sum _{i=1}^{n}A[i]\ast n-\sum _{i=1}^{n}A[i]\ast (i-1).$$

我们发现这个东西貌似就可以用两个树状数组维护，我们可以用一个树状数组维护$A[i]$，再用一个树状数组维护$A[i](i-1)$.

代码如下：

//#include<bits/stdc++.h>
#include<iostream>
  using namespace std;
#define Abigail inline void
typedef long long LL; 
const int N=100000;
LL c[N+9][2],a[N+9];
int n,q;
int lowbit(int x){return x&-x;}
void add(int x,LL num,int t){
  while (x<=n){
    c[x][t]+=num;
    x+=lowbit(x);
  }
}
LL query(int x,int t){
  LL sum=0;
  while (x){
    sum+=c[x][t];
    x-=lowbit(x);
  }
  return sum;
}
char rc(){
  char c=getchar();
  while (c<'A'||c>'Z') c=getchar();
  return c;
}
Abigail into(){
  scanf("%d%d",&n,&q);
  for (int i=1;i<=n;i++)
    scanf("%lld",&a[i]);
}
Abigail work(){
  for (int i=n;i>=1;i--)
    a[i]-=a[i-1];
  for (int i=1;i<=n;i++)
    add(i,a[i],0),add(i,a[i]*(i-1),1);
}
Abigail getans(){
  char opt;
  int l,r;
  LL d;
  for (int i=1;i<=q;i++){
    opt=rc();
    if (opt=='C'){
      scanf("%d%d%lld",&l,&r,&d);
      add(l,d,0);add(r+1,-d,0);
      add(l,d*(l-1),1);add(r+1,-d*r,1);
    }else{
      scanf("%d%d",&l,&r);
      printf("%lld\n",query(r,0)*r-query(r,1)-query(l-1,0)*(l-1)+query(l-1,1));
    }
  }
}
int main(){
  into();
  work();
  getans();
  return 0;
}