蓝书（算法竞赛进阶指南）刷题记录——POJ1845 Sumdiv（逆元）

最新推荐文章于 2022-10-11 17:49:17 发布

hezlik

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本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/hzk_cpp/article/details/86922755

本文深入解析了POJ1845题目，通过分析ABA^BAB的约数和问题，介绍了如何利用质因子统计和等比数列求和公式解决大数运算。特别关注了在特定条件下如何处理没有逆元的情况，使用费马小定理实现高效算法。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目：POJ1845.
题目大意：给定 $A$ 和 $B$ ，求 $A^B$ 的约数和，答案对 $9901$ 取模.
$0\leq A,B\leq 5*10^7$ .

设 $n=\prod_{i=1}^{k}p_i^{c_i}$ ，则 $n$ 的约数和为：
$\sigma(n)=\prod_{i=1}^{k}\sum_{j=0}^{c_i}p_i^{j}$

那么我们要做的就是统计 $A^B$ 每一个质因子的数量，设 $A$ 含有 $c n t [i]$ 个质因子 $i$ ，那么 $A^B$ 就含有 $B * c n t [i]$ 个质因子 $i$ ，所以我们就得到了 $A^B$ 每个质因子的数量.

根据等比数列求和公式可以得出：
$\sigma(n)=\prod_{i=1}^{k}\sum_{j=0}^{c_i}p_i^{j}= \prod_{i=1}^{k}\frac{p_i^{c_i+1}-1}{p_i-1}$

所以我们只需要处理好对 $p_i-1$ 做除法就好了，这个用费马小定理实现逆元即可.

值得注意的是，若刚好 $9901|(p_i-1)$ ，这个时候 $p_i-1$ 是没有逆元的，不过我们知道这时候 $p_i=1$ ，也就是说 $1+p_1+p_1^2+...p_1^{bc_i}=bc_i+1$ .（这种情况是不可避免的，不能直接用费马小定理）

时间复杂度 $O(\log n)$ .

代码如下：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
  using namespace std;

#define Abigail inline void
typedef long long LL;

const int N=1000,mod=9901;

int a,cnt[N+9],pr[N+9],tp,ans=1;
LL b;

int power(int a,LL k){
  int s=1;a%=mod;
  for (;k;k>>=1,a=a*a%mod)
    if (k&1) s=s*a%mod;
  return s;
}

Abigail into(){
  scanf("%d%lld",&a,&b);      //切记指数不能取模！！！ 
}

Abigail work(){
  int v=a;
  for (int i=2;i*i<=a;++i)
    if (v%i==0){
      pr[++tp]=i;
      while (v%i==0) v/=i,++cnt[tp];
    }
  if (v>1) pr[++tp]=v,cnt[tp]=1;
  for (int i=1;i<=tp;++i)
    if ((pr[i]-1)%mod==0) ans=(b*cnt[i]+1LL)%mod*ans%mod;
    else ans=ans*power(pr[i]-1,LL(mod-2))%mod*(power(pr[i],b*cnt[i]+1LL)-1+mod)%mod;
}

Abigail outo(){
  printf("%d\n",ans);
}

int main(){
  into();
  work();
  outo();
  return 0;
}