蓝书（算法竞赛进阶指南）刷题记录——BZOJ3261最大异或和（可持久化0-1 Trie）

最新推荐文章于 2020-08-03 10:17:16 发布

原创最新推荐文章于 2020-08-03 10:17:16 发布 · 270 阅读

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本文详细解析了BZOJ3261题目的算法思路，通过使用可持久化0-1 Trie解决序列操作问题，实现高效查询区间内异或最大值。代码示例清晰展示了算法实现过程。

题目：BZOJ3261.
题目大意：给定一个长度为 $n$ 的序列 $a$ ，支持两种操作：
1.在序列尾插入一个数字.
2.求一个在区间 $[l, r]$ 内的 $p$ 使得 $a[p]\,xor\,a[p+1]\,xor\,...\,xor\,a[n]\,xor\,x$ 最大，并输出这个值.
设操作次数为 $m$ ，则 $1\leq n,m\leq 3*10^5$ .

考虑将原序列 $a$ 的前缀异或数组 $s$ 写出来，那么要求最大的值为：
$a[p]\,xor\,a[p+1]\,xor\,...\,xor\,a[n]=s[p-1]\,xor\,s[n]\,xor\,x$ .

发现这个式子中 $s[n]\,xor\,x$ 是确定的，我们只需要求出最优的 $s [p - 1]$ 即可.

考虑没有区间限制时，这道题就可以直接用0-1 Trie维护异或的套路来做.

再考虑有区间限制时，将0-1 Trie换成可持久化0-1 Trie即可.可持久化0-1 Trie的实现与可持久化线段树类似，不再赘述.

代码如下（为了方便处理，我往第 $1$ 个节点前加了一个数即第 $2$ 棵树对应第 $1$ 个串）：

#include<bits/stdc++.h>
  using namespace std;

#define Abigail inline void
typedef long long LL;

const int N=300000,C=25;

char rc(){
  char c=getchar();
  while (c<'A'||c>'Z') c=getchar();
  return c;
}

struct Trie{
  int s[2],cnt;
}tr[N*(C+2)*2+9];
int rot[N*2+9],cr,cn;

void Build(){cr=cn=0;}

/*void Insert(int a){
  tr[++cn]=tr[cr];rot[++cr]=cn;
  int x=rot[cr],x0=rot[cr-1];
  for (int i=C;i>=0;--i){
    ++tr[x].cnt;
    tr[++cn]=tr[tr[x0].s[a>>i&1]];
    tr[x].s[a>>i&1]=cn;
    x=cn;
    x0=tr[x0].s[a>>i&1];
  }
  ++tr[x].cnt;
}*/ 

void Insert(int a){ 
  rot[++cr]=++cn;
  int x=rot[cr],x0=rot[cr-1];
  for (int i=C;i>=0;--i){
  	tr[x]=tr[x0];++tr[x].cnt; 
  	tr[x].s[a>>i&1]=++cn;x=cn;
  	x0=tr[x0].s[a>>i&1];
  }
  tr[x]=tr[x0];++tr[x].cnt;
}

//被注释掉的Insert是错误写法，应该要等到指针指到了x节点才可以给x节点赋初值，不然x指针会跳到前面的版本上 

int Query(int l,int r,int a){
  int xl=rot[l-1],xr=rot[r],ans=0,t;
  for (int i=C;i>=0;--i){
    t=a>>i&1;
    if (tr[tr[xr].s[t^1]].cnt-tr[tr[xl].s[t^1]].cnt>0)
      ans|=1<<i,xl=tr[xl].s[t^1],xr=tr[xr].s[t^1];
    else xl=tr[xl].s[t],xr=tr[xr].s[t];
  }
  return ans;
}

int n,m,s[N*2+9];

Abigail into(){
  Build();
  Insert(0);
  scanf("%d%d",&n,&m);
  for (int i=1;i<=n;++i){
  	scanf("%d",&s[i]);
  	s[i]^=s[i-1];
  	Insert(s[i]);
  }
}

Abigail getans(){
  char opt;
  int l,r,x;
  for (int i=1;i<=m;++i){
  	opt=rc();
  	if (opt=='A'){
  	  scanf("%d",&x);
	  s[n+1]=s[n]^x;
	  Insert(s[++n]);
	}else{
	  scanf("%d%d%d",&l,&r,&x);
	  printf("%d\n",Query(l,r,s[n]^x));
  	}
  }
}

int main(){
  into();
  getans();
  return 0;
}