[JZOJ5050] 颜色树

最新推荐文章于 2021-03-02 21:46:23 发布

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#点分治 #容斥 #树形DP

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————树形dp

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————容斥原理

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本文探讨了一个有趣的图论问题：如何在一颗特殊的树上找到所有包含所有叶子颜色的不同路径组合。通过树形DP、容斥原理及点分治等方法，解决了这一问题并提供了完整的代码实现。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Description

思源湖畔有一棵树，那是独孤玉溪最喜欢的地方。
传说中，这棵不见边际的树有N个节点，每个节点都有1片叶子，每片叶子都拥有K种颜色中的一种，独孤玉溪喜欢爬到这棵树上，沿着一条路线摘叶子，并拥有所有颜色的叶子。
独孤玉溪会选择一个起点，并沿着树边走，然后最终停在一个终点上(起点和终点可能相同)，当然了每一个结点只能经过一次(每一片叶子只能摘一遍)。独孤玉溪突生奇想，有多少种不同的方案能满足自己呢？(两种方案不同当且仅当起点不同或终点不同)。
20%的数据：N<=10000,K<=10
40%的数据：N<=50000,K<=2
100%的数据：N<=50000，K<=10

Solution

树形DP是非常明显的想法，需要卡一下空间。

也可以容斥，正难则反，设不存在某几种颜色的的状态，O（N）搜索联通块直接算，然后容斥。

还可以点分治，注意要把 $2^k$ 压成 $2^{k/2}$ ，二进制分成两半处理

Code

此处为容斥

#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cmath>
#define fo(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define fod(i,a,b) for(int i=a;i>=b;i--)
#define N 50005
using namespace std;
int fs[N],nt[2*N],dt[2*N],n,cl[N],m,m1,ans;
bool bz[11],b[N];
int sqr(int x)
{
    return x*x;
}
int fd(int k)
{
    int s=1;
    for(int i=fs[k];i;i=nt[i])
    {
        int p=dt[i];
        if(!bz[cl[p]]&&!b[p]) b[p]=1,s+=fd(p);
    }
    return s;
}
void get(int v,int l)
{
    if(l) 
    {
        memset(b,0,sizeof(b));
        fo(i,1,n) if(!b[i]&&!bz[cl[i]]) b[i]=1,ans+=v*sqr(fd(i));
    } 
    fo(i,l+1,m) bz[i]=1,get(-v,i),bz[i]=0;
}
void link(int x,int y)
{
    nt[++m1]=fs[x];
    dt[fs[x]=m1]=y;
}
int main()
{
    cin>>n>>m;
    fo(i,1,n) scanf("%d",&cl[i]);
    fo(i,1,n-1) 
    {
        int x,y;
        scanf("%d %d",&x,&y);
        link(x,y),link(y,x);
    }
    ans=0;
    get(-1,0);
    cout<<n*n-ans;
}