CodeForces 258C Little Elephant and LCM(数学推理)

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题目给你一个a数列，你要求一个b数列满足以下条件：1，b数列中的数不大于对应位置的a数列中的数。2，b数列的最大值要等于b数列中所有的最小公倍数。求满足条件的b数列的数目。首先考虑如果b数列的最大数等于b中所有数的lcm的话，那么除了这个最大的数，剩下所有的数都是这个最大数的因子。再者这个题你改变a数列的顺序是不改变答案的。所以我们可以先把a排序，找到最大的数max,这就是b数列中最大数的最大值，然后开始枚举从max到1，对于每种情况下的答案怎么计算其实也不难，先把此时的最大值因子分解，对于每个因子用二分找到a数列中第一个大于等于该因子的位置。这么做的目的举个例子就知道，假设a数列为1，2，3，6，8现在我们令b数列的最大值为8,8的因子为1,2,4,8我们二分找到第一个大于等于1的位置为1，那么就说明前1个数能够选择的数只有1，对于2我们找到位置2，由于之前已经算过第一个数只能为1，那么用现在的位置2-1，就表示有1个数可以选择1，2两个数，同样后面的位置也这样计算，就可以算出每个位置能够选择的数有多少个，那么累乘一下其实就是方案总数。需要特殊处理的是最后几个位置，假设我们存在3个位置可以选择所有的数包括最大数的话，由于我们要保证最大值，所以我们不能直接累乘最后三个位置的方案数，具体的代码中体现需要自己思考一下。

AC代码：

#include<iostream>
#include<sstream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<string>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<stack>
#include<queue>
#include<algorithm>
using namespace std;
const long long MOD=1e9+7;
const int MAXM=1e5;


long long a[MAXM+10];
long long b[MAXM+10];
long long cnt;

bool cmp(long long x,long long y)
{
    return x>y;
}
void handle(long long x)
{
    cnt=0;
    for (long long i=1;i<=(long long)sqrt(x);i++)
    if (x%i==0) {
        b[cnt++]=i;
        if (i*i!=x)
        b[cnt++]=x/i;
    }
    sort(b,b+cnt);
}
long long pow(long long x,long long y)
{
    long long res=1;
    while(y) {
        if (y&1) res=(res*x)%MOD;
        x=(x*x)%MOD;
        y=y>>1;
    }
    return res;
}
int main()
{
    long long n;
//    init();
    scanf("%lld",&n);
    for (int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%lld",&a[i]);
    sort(a+1,a+1+n);
    long long ans=0;
    for (long long i=a[n];i>=1;i--) {
        long long x=i;
        handle(x);
        long long tmp=1;
        long long pre=0;
        for (long long j=1;j<cnt;j++) {
            int index=lower_bound(a+1,a+1+n,b[j])-(a+1);
            long long sum=(long long)index;
            tmp=tmp*pow(j,sum-pre)%MOD;
            pre=sum;
        }
        tmp=tmp*(pow(cnt,n-pre)-pow(cnt-1,n-pre)+MOD)%MOD;
        ans=(ans+tmp)%MOD;
       // ans--;
    }
    printf("%lld\n",ans%MOD);
    return 0;
}