X 进制减法

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#算法 #数据结构

于 2024-02-26 19:11:03 首次发布

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一、题目描述

P8782 [蓝桥杯 2022 省 B] X 进制减法

二、算法简析

首先，要弄清楚如何转换为十进制。先来看二进制数 $a_na_{n-1}...a_0$ ，转换为十进制为 $a_n2^{n}+a_{n-1}2^{n-1}+···+a_02^0$ 。
当不同位的进制不同时，公式是不同的。令 $a_i$ 为 $n_i$ 进制，则 $a_ia_{i-1}...a_0$ 中的 $a_i$ 转换为十进制为 $a_i\prod_0^{i-1}n_i$ ，以此类推求出 $a_{i-1}...a_0$ ，再相加。
以 321 为例，最低位为二进制，第二位为十进制，第三位为八进制。该数转换为十进制为 $3\times 20+2 \times 2 + 1 = 65$ 。
接着，再来看本题，要我们求 $A - B$ 的最小值。我们采用贪心，使 $A$ 和 $B$ 转换为十进制的值最小，也就是说使每位的进制尽量小。每一位的进制为：

$\begin{cases} \text{max}(A[i], B[i]) + 1&, A[i],~B[i]\geq 2 \\ 2&,A[i],~B[i]<2 \end{cases}$

值得注意的是， $A$ 和 $B$ 的位数可能不相同，但都必须是低位对齐。

三、本体代码

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

typedef long long ll;

const int MAX = 1e5 + 5;
const int MOD = 1e9 + 7;

int N, Ma, Mb, A[MAX], B[MAX], C[MAX];
int a, b;

int quickin(void)
{
	int ret = 0;
	bool flag = false;
	char ch = getchar();
	while (ch < '0' || ch > '9')
	{
		if (ch == '-')    flag = true;
		ch = getchar();
	}
	while (ch >= '0' && ch <= '9' && ch != EOF)
	{
		ret = ret * 10 + ch - '0';
		ch = getchar();
	}
	if (flag)    ret = -ret;
	return ret;
}

int main()
{
	#ifdef LOCAL
	freopen("test.in", "r", stdin);
	#endif
	
	N = quickin();
	// A和B的位数可能不同，但都是低位对齐 
	Ma = quickin();
	for (int i = Ma - 1; i >= 0; i--)
		A[i] = quickin();
	Mb = quickin();
	for (int i = Mb - 1; i >= 0; i--)
		B[i] = quickin();
	
	int cj = 1;
	for (int i = 0; i < Ma || i < Mb; i++)
	{
		int tmp = 0;
		if (i < Ma)
			tmp = max(tmp, A[i]);
		if (i < Mb)
			tmp = max(tmp, B[i]);
		
		tmp = tmp < 2 ? 2 : tmp + 1;
		C[i] = cj;
		cj = (ll)cj * tmp % MOD;
	}
	
	for (int i = 0; i < Ma || i < Mb; i++)
	{
		if (i < Ma)
			a = ((ll)A[i] * C[i] % MOD + a) % MOD;
		if (i < Mb)
			b = ((ll)B[i] * C[i] % MOD + b) % MOD;
	}
	
	// (a - b + MOD) % MOD 保证余数不小于0 
	cout << ((ll)a - b + MOD) % MOD << endl;
	
	return 0;	
}