【互补松弛定理】12.7.16省队集训

互补松弛定理

xi,yi分别为原问题和对偶问题的最优解，当且仅当

sigma(aij*yi | i=1~m)==cj or xi=0 j=1,2...,n

sigma(aij*xj | j=1~n)==bi or yi=0 i=1,2...m

题意：给一个n*n的矩阵，每次可以攻击一列或者一行，攻击一行的代价为Ai,攻击一列的代价为Bi,要求每个格子i,j至少被攻击F[i][j]次，要使得总代价最小，同时输出方案

第一次接触对偶定理就是这道题，那时候把对偶弄清楚了，但是互补松弛定理一直无法理解，不会输出方案就不了了之了...就对偶之后的建图来说，其实比日本那道题要简单一些

首先先把第一步的对偶定理做好,建立n+n个变量,lx1...lxn,ly1...lyn分别表示每行每列攻击了几次

则我们的目标是

min{(A1...An,B1....Bn)*(lx1...lyn)'}

约束条件

lxi+lyj>=F[i][j]

系数矩阵不好画就自己yy吧...

对偶之后化为

max{(y11...ynn)*(F[1][1]..F[n][n])'}

约束条件提取

sigma(yi | i=(k-1)*n+1~k*n)<=Ak

sigma(yi*n+k | i=1~n)<=Bk

然后根据这个建图

源点连出n个点，每条边容量为Ai，费用为0

n个点连向汇点，每条边容量为Bi，费用为0

中间连n*n条边，<i,j>，容量为oo,费用为