题目描述
通常,人们习惯将所有 n 位二进制串按照字典序排列,例如所有 2 位二进制串按字典序从小到大排列为:00,01,10,11。
格雷码(Gray Code)是一种特殊的 n 位二进制串排列法,它要求相邻的两个二进制串间恰好有一位不同,特别地,第一个串与最后一个串也算作相邻。
所有 2 位二进制串按格雷码排列的一个例子为:00,01,11,10。
n 位格雷码不止一种,下面给出其中一种格雷码的生成算法:
- 1 位格雷码由两个 1 位二进制串组成,顺序为:0,1。
- n + 1 位格雷码的前 2^n个二进制串,可以由依此算法生成的 n 位格雷码(总共 2^n个 n 位二进制串)按顺序排列,再在每个串前加一个前缀 0 构成。
- n + 1 位格雷码的后 2^n 个二进制串,可以由依此算法生成的 n 位格雷码(总共 2^n个 n 位二进制串)按逆序排列,再在每个串前加一个前缀 1 构成。
- 综上,n + 1 位格雷码,由 n 位格雷码的 2^n个二进制串按顺序排列再加前缀 0,和按逆序排列再加前缀 1 构成,共 2^{n+1}个二进制串。另外,对于 n 位格雷码中的 2^n个 二进制串,我们按上述算法得到的排列顺序将它们从 0∼2^n−1 编号。
按该算法,2 位格雷码可以这样推出:
1.已知 1 位格雷码为 0,1。
2.前两个格雷码为 00,01。后两个格雷码为 11,10。合并得到 00,01,11, 10,编号依次为 0 ~ 3。
同理,3 位格雷码可以这样推出:
1.已知 2 位格雷码为:00,01,11,10。
2.前四个格雷码为:000,001,011,010。后四个格雷码为:110,111,101,100。合并得到:000,001,011,010,110,111,101,100,编号依次为 0 ~ 7。
现在给出 n,k,请你求出按上述算法生成的 n 位格雷码中的 k 号二进制串。
输入格式
仅一行两个整数 n,k,意义见题目描述。
输出格式
仅一行一个 n 位二进制串表示答案。
输入输出样例
输入 #1
2 3
输出 #1
10
输入 #2
3 5
输出 #2
111
输入 #3
44 1145141919810
输出 #3
00011000111111010000001001001000000001100011
说明/提示
【样例 1 解释】
2 位格雷码为:00,01,11,10,编号从 0∼3,因此 3 号串是 10。
【样例 2 解释】
3 位格雷码为:000,001,011,010,110,111,101,100,编号从 0∼7,因此 5 号串是 111。
【数据范围】
对于 100% 的数据:1≤n≤64, 0 ≤k<2^n
【题目分析】
仔细观察格雷码的生成方式,不难发现其中的规律,如下:
- 对格雷码进行二分,第n次二分出的两部分的前n位数相同,如:
000,001,011,010,110,111,101,100
第一次二分:
000,001,011,010,/,110,111,101,100
左右两边第一位相同。接下来我们取左半部分继续二分
第二次二分:
000,001,/,011,010
左右两边前两位数相同。
此规律成立
- 左半部分的输出规则与右半部分的输出规则相反:
1.左半部分:二分的两部分左半段输出0,右半段输出1;
2.右半部分:二分的两部分左半段输出1,右半段输出0;
如: