合法出栈顺序计数、卡特兰数公式详细推导

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已于 2024-07-12 18:41:33 修改

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分类专栏：数据结构文章标签：数据结构算法

于 2024-07-12 18:40:18 首次发布

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n个数1,2,...,n按顺序入栈，中途允许出栈，问合法的出栈顺序有多少种？（该问题的结果为卡特兰数）

按照出栈序列的末尾k分类，如果k最后一个出栈，说明：

所以总体顺序为1 ~ k-1入、出栈 -> k入栈 -> k+1 ~ n入、出栈 -> k出栈。注意到1 ~ k-1入、出栈和 k+1 ~ n 是两个独立的子问题，故
$f(n)=\sum\limits_{i=0}^{n-1}f(i)f(n-1-i)$

i可以理解成k之前的个数，n-1-i理解成k之后的个数

合法出栈顺序数可以转化为求合法入栈出栈操作序列数，二者数量相同，因为：

设A:合法入栈出栈操作序列；B：合法出栈顺序； $f:A\rightarrow B$ , f(a)=a对应的出栈序列
显然，每一个出栈顺序都有相应的入栈出栈操作序列，所以f为满射
出栈序列相同当且仅当入栈出栈操作顺序相同，所以f为单射
- 不妨假设在两个出栈序列第一个不同的位置，a1使得p入栈，a2使得q出栈。此时a1栈中q在p下方，q比p后出栈；而a2中p还未入栈q就出栈，q比p先出栈，故出栈序列必然不同。
所以，f为双射，AB集合元素数量相同。

那么现在要求合法入栈出栈操作序列的数量。

设入栈为0，出栈为1，合法的序列应该有n个0，n个1，并且在任意位置，其前面0和1的个数，count0>=count1。
n个0，n个1构成 $C_{2n}^{n}$ 种序列，其中要么合法，要么不合法（存在位置，count0<count1）,那么总数减去不合法就可以求得合法的序列数量
考虑不合法的情况
- 设其第一个count0<count1的位置为k，k之前0和1数量相同，k是1，k后面0比1多1。如果将其后面反转，则生成的新序列有n+1和1和n-1个0。所以我们会考虑不合法的数量是否恰好等于n+1个1和n-1和0构成的序列的数量：
- 设A：n个0，n个1构成的不合法序列；B：n+1个1和n-1个0构成的序列。则刚才的转化表示，存在A到B的映射，故B的数量小于等于A。
- 考虑n+1个1、n-1个0构成的序列，由于1比0多，所以存在位置使得count0<count1，在第一个这样的位置做相同的变换，会生成n个0，n个1构成的序列。即存在B到A的映射，故A的数量小于等于B。
- 二者结合，A与B数量相同，B的数量为 $C_{2n}^{n+1}$