快速幂

快速幂的目的：

做到快速求幂。假设我们要求a^b,按照朴素算法就是把a连乘b次，这样一来时间复杂度是O(b)也即是O(n)级别。如果n非常大时，就会超时。而快速幂的时间复杂度为O(logn)。

快速幂的原理：

假设我们要求a^b，其实b是可以拆成二进制的，该二进制数第i位的权为2^(i-1)，例如当b==11时,

11 = 2³×1 + 2²×0 + 2¹×1 + 2º×1, 11的二进制是1011,因此a¹¹可以转化为算 a^(2^0)*a^(2^1)*a^(2^3)，从而可以将原来计算11次转为现在算三次。

由于是二进制，很自然地想到用位运算这个强大的工具： &  和 >>  。

 

&运算通常用于二进制取位操作，例如一个数 & 1 的结果就是取二进制的最末位。同时还可以判断奇偶，x&1==0为偶，x&1==1为奇。>>运算则是去掉二进制最后一位。

实现代码：

int poww(int a,int b){
    int ans=1,base=a;
    while(b!=0){
        if(b&1!=0)
        　　ans*=base;
        base*=base;
        b>>=1;
　 }
    return ans;
}

以b=11为例，b=1011,二进制从右向左算，但乘出来的顺序是 a^(2^0)*a^(2^1)*a^(2^3)，是从左向右的。

我们不断的让base*=base目的即是累乘，以便随时对ans做出贡献。

base*base==base^2,下一步再乘，就是base^2*base^2==base^4,然后同理  base^4*base4=base^8，指数正是 2^i 。