最少硬币问题----多重背包

huhubbdd

已于 2022-12-31 10:32:22 修改

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文章标签：算法 c++ 动态规划

于 2022-11-01 23:49:07 首次发布

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/huhubbdd/article/details/127643687

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本文介绍了一种解决多重背包问题的算法实现，该问题要求在给定多种不同面值硬币及其数量的情况下，找到组成特定金额所需的最少硬币数量。通过使用动态规划的方法，文章详细解释了递推方程，并提供了完整的C++代码示例。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

问题描述：

设有n 种不同面值的硬币，各硬币的面值存于数组T［1:n ］中。现要用这些面值的硬币来找钱。可以使用的各种面值的硬币个数存于数组Coins［1:n ］中。对任意钱数0≤m≤20001，设计一个用最少硬币找钱m 的方法。

编程任务：

对于给定的1≤n≤10，硬币面值数组T 和可以使用的各种面值的硬币个数数组Coins，以及钱数m，0≤m≤20001，编程计算找钱m 的最少硬币数。

数据输入：

由文件input.txt 提供输入数据，文件的第一行中只有1 个整数给出n 的值,第2 行起每行2 个数，分别是T[j] 和Coins[j] 。最后1 行是要找的钱数m。

结果输出:

程序运行结束时，将计算出的最少硬币数输出到文件output.txt 中。问题无解时输出-1。

输入文件示例输出文件示例

input.txt
3
1 3
2 3
5 3
18

output.txt
5

题解

多重背包的模板：
有一个容量为V的背包，有几种不同价值的物品，每种物品都有确定的个数（num>=1)，问怎样装包才能使所拿物品价值最大？

和01背包不同，多重背包的每种物品的个数不再是一个，所以拿东西的状态也从拿与不拿变成了拿几个的问题。

因此枚举的策略也有所调整，对于每个容量，我们还要枚举k次来确定拿几个是最优的状况。

递推方程 $d p [k] = min (d p [k - T [i]] + 1, d p [k])$ 的含义为，需要找k元钱时，所花费的最少硬币数。

#include <iostream>
using namespace std;
const int inf = 10086;
int n, m, T[50], coins[50];
int dp[1001];
//多重背包

int main()
{
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cin >> T[i] >> coins[i];
    }
    cin >> m;
    for (int i = 1; i <= m; i++)
        dp[i] = inf;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        //枚举此面值的数量次
        for (int j = 1; j <= coins[i]; j++) {
            for (int k = m; k >= T[i]; k--) {
                //每一次都是基于上一次的最优值加一
                dp[k] = min(dp[k - T[i]] + 1, dp[k]);
            }
        }
    }
    if (dp[m] != inf)
        cout << dp[m];
    else
        cout << -1;
    return 0;
}