有限域上的逆运算

有限域上的的逆运算有两种求取算法，一种是指数法，一种是扩展的欧几里德算法。

1、指数法

对于有限域$GF(p)$，$p$为素数，对于该域上的非零元素$g$，则{g}的逆元为$c=g^{-1}=g^{p-2}$
而整数$p-1$可以化为二进制表示$e=p-2=e_re_{r-1}...e_1e_0$其中最高位$e_r=1$
那么求逆过程就转换成了有限域上的求指数的过程，而有限域上求指数的算法过程是：

x=g
for i=r-1:0
    x=x*x
    if ei==1
    x=x*g
    end
end

输出x就是要求取的逆。

2、扩展的欧几里德算法

欧几里德算法又称之为辗转相除法，对于两个整数$a,b$，若$a>b$，求取其最大公约数$gcd(a,b)$，有$gcd(a,b)=gcd(b,a\,\,mod\,\,b)$，如此辗转除下去就可以得到最大公约数。
扩展欧几里德算法指的是：对于不全为0的整数$a,b$，存在整数$x,y$，使得$ax+by=gcd(a,b)$
求取$x,y$的过程是：
根据欧几里德算法，$ax+by=gcd(a,b)=gcd(b,a\,\,mod\,\,b)=bx_2+(a\,\,mod\,\,b)y_2$
利用恒等定理则有：
$x_1=y_2;y_1=x_2-[a/b]*y_2$
可以看出，当辗转相除停止时，可以递归求取$x,y$。
利用此定理，在有限域$GF(p)$上，对于任意一个非零元$g$，则有
$gx+py=gcd(g,p)=1$，那么使得等式成立的$x$就是$g$的逆元，那么求解逆元的过程就转换成了求解的过程。