堆（堆排序）

最大堆：通常用于堆排序；A[parent(i)] >= A[i]

最小堆：通过用于构造优先队列

一个数组A表示堆，A[i]的左孩子为A[2i]，右孩子为A[2i+1]

1. MAX-HEAPIFY 【维持堆性质】：给定一个数组A和下标i，假定节点i的左子树和右子树都满足最大堆性质，但是i可能不满足；

    通过让A[i]的值在堆中逐级下降，使得数组回到满足最大堆性质的过程

    主要思路：每次找到A[i]、A[left]、A[right]中最大的值，如果A[i]是最大值，则过程结束；否则将最大值与A[i]调用，递归调用该过程

    时间复杂度分析，调整A[i]与最大值的位置代价为O(1)，因为该过程是递归调用的，而一个节点的子树至多为上一层树的2/3，因此

    T(n) = T(2n/3) + O(1)，从而时间复杂度是O(lg n)

2. BUILD-MAX-HEAP 【建堆】：

    对于数组A，长度为n

    先构造一个堆结构，再从A[n/2]到1，对堆进行MAX-HEAPIFY这个过程

    时间复杂度分析，每次调用MAX-HEAPIFY过程需要O(lg n)，需要调用n/2次，因此上界为O(nlg n)

        然而，因为每个节点调用MAX-HEAPIFY的时间复杂度只与以它为根的子树高度有关，因此可以退出时间复杂度为O(n)

3. HEAPSORT 【堆排序】：

    已经建好的堆中，A[1]总是最大节点，将其与A[n]交换，从而可以截掉A[n]，再调用MAX-HEAPIFY维持堆结构

    递归调用以上过程，即可得到有序数组

    时间复杂度分析：建堆一次【O(n)】，n-1次MAX-HEAPIFY【O(n lg n)】；因此总复杂度为 【O(n lg n)】