Number Theory 4.5 Relative Primality

当 gcd(m, n) = 1时，我们称 m和n互素。

约定用 m⊥n来表示两者互素。

m / gcd(m, n)  ⊥ n / gcd(m, n)

由 gcd和素数序列的关系我们可以得出

k ⊥ m and k ⊥ n ←→ k ⊥ mn

书上看到一种很好玩的一种构造算法。

用来构造所有具有 m⊥n的非负分数 m/n集合，称为Stem-Brocot tree。

建树思想是：从两个分数（0/1， 1/0）开始，重复以下操作，在两个邻接的分数 m/n和 m'/n'之间插入 (m+m')/(n+n')。

这颗树构造能保证相同分数不会出现两次，基于以下事实：

如果在任何构造阶段 m/n和 m'/n'是相继的分数，则有 m'n - mn' = 1

证明：开始时，1*1 - 0*0 = 1满足条件，计算出中间值 (m+m')/(n+n')后，

(m + m')n - m(n + n') = 1 ;
m'(n + n') - (m + m')n' = 1 ;

仍然等价于原方程式。

还有任何 a⊥b是否都能被表示出来？

证明：