DP之矩阵转移

最新推荐文章于 2022-11-02 21:05:04 发布

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最新推荐文章于 2022-11-02 21:05:04 发布 · 761 阅读

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这篇博客介绍了如何利用矩阵乘法优化DP转移，特别是针对存在循环节的情况。通过斐波那契数列举例说明矩阵乘法在DP中的应用，并详细解析了一个具体的题目——JZOJ5416，讨论了如何构建矩阵并进行填充，从而高效求解问题。

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先扯两句

很多人说如果DP转移有循环节，直接矩乘就好了。但是像我这样这么蒟蒻的选手还是数不胜数的。
但是又有多少人真的懂矩乘？能够熟练掌握？
本人才疏学浅，以下观点只是我的一孔之见，希望大佬们批评指正。

矩阵乘法

这个东西其实不难。
大家都知道，矩阵 $C = A B = A * B$ ，其中矩阵 $A$ , $n$ 行 $p$ 列，矩阵 $B$ , $p$ 行 $m$ 列。则矩阵 $C$ ， $n$ 行 $m$ 列。
需要注意的地方：
只有A的列数=B的行数，才能够进行矩阵乘法。
原因：
矩阵乘法的公式： $c[i][j]=∑k=1pa[i][k]∗b[k][j]c[i][j]=\sum_{k=1}^p a[i][k]*b[k][j]$
在草稿纸上画一下：在这里插入图片描述
在矩阵C的元素 $(i, j)$ ，是矩阵A和B中对应元素的积（已用相同颜色标示）之和。
总共有p种颜色。能够进行矩阵乘法，当然需要A的列数等于B的行数。

DP转移矩阵最核心的地方

DP的转移如果存在循环节，且涉及的元素不多，则可以考虑用矩乘优化。
现在考虑 $f [i]$ 到 $f [i + 1]$ 的转移。现在要解决两件事。①将 $f [i]$ 转移到 $f [i + 1]$ ，② $f [i]$ 的转移式中的其他项该如何更新。
通过矩阵乘法，能够解决上面的两件事。
在这里插入图片描述
方便地，现在要将 $f [n]$ 转移到 $f [n + 1]$ 。