3.1 树与树的表示
3.1.1 引子:查找
分层次组织在管理上具有更高的效率!
查找
1. 定义:
根据某个给定 关键字K ,从 集合R 中找出关键字与K 相同的记录。
2.分类:
- 静态查找:集合中 记录是固定 的;
- 动态查找: 集合中 记录是动态变化的。
3.静态查找的方法
方法1: 顺序查找(时间复杂度为O(n));
//在数组的头部,建立哨兵和标记指针,可减少判断的分支。
方法2:二分查找(时间复杂度O(logN))。
数据必须从小到大排列!
问:
在二分查找中,我们是取mid等于left和right的中间值,即用等分的方法进行查找。
那为什么一定要等分呐?能不能进行“黄金分割”?也就是mid=left+0.618(right-left),当然mid要取整数。如果这样查找,时间复杂性是多少?也许你还可以编程做个试验,比较一下二分法和“黄金分割”法的执行效率。
答:
二分法每次能有100%的概率能只剩50%的数据,每次剩下的期望为50%,即每次除以2。所以时间复杂度是:log2(N)。
而黄金分割的话每次都有0.618的概率剩0.618,0.382的概率剩0.382,每次剩下的期望为0.528,即1/0.528=1.894。所以时间复杂度是:log1.894(N)=1.085∗log2(N)。
3.1.2 树
- 定义:n(n≥0)个结点构成的有限集合。
- 当n=0 时,称为 空树 ;
- 树中有一个称为“ 根(Root ) ”的特殊结点, 用 r 表示;
- 其余结点可分为m(m>0) 个 互不相交的 有限集,其中每个集合本身又是一棵树,称为原来树的“ 子树 (SubTree )”。
2.树的性质
- 子树是 不相交 的 ;
- 除了根结点外, 每个结点有且仅有一个父结点 ;
- 一棵N 个结点的树有N-1 条边 。
3.树的基本术语
树是保证节点联通的最小的一种联通方式!
- 结点的度(Degree ): 结点的 子树个数;
- 树的度:树的所有结点中最大的度数;
- 叶结点 (Leaf): 度为0 的结点;
- 父结点 (Parent ):有子树的结点是其子树的根结点的父结点;
- 子结点 (Child ):若A 结点是B 结点的父结点,则称B 结点是A 结点的子结点;子结点也称 孩子结点 ;
- 兄弟结点 (Sibling ):具有同一父结点的各结点彼此是兄弟结点;
- 路径和路径长度:从结点n1 到nk的 路径 为一个结点序列n1,n2,…,nk,ni是ni+1 的父结点。路径所包含边的个数为 路径的长度 ;
- 祖先结点(Ancestor) :沿 树根到某一结点路径 上的所有结点都是这个结点的祖先结点;
- 子孙结点(Descendant) :某一结点的 子树中的所有结点 是这个结点的子孙;
- 结点的层次(Level):规定 根结点在1 层 ,其它任一结点的层数是其父结点的层数加1;
- 树的深度(Depth) :树中所有结点中的 最大层次 是这棵树的深 度。
4.树的表示
儿子-兄弟表示法
所需的总空间为3N(N为节点数)。
问:
树的集合称为森林。是否也可以使用“儿子-兄弟”表示法存储森林?如何实现?
答:
可以,不同树的根节点看成是这棵树的入口,各个树之间可以看做是兄弟节点。
3.2 二叉树及存储结构
3.2.1 二叉树
二叉树的定义
定义:一个有穷的结点集合。
- 这个集合 可以为空;
- 若不为空,则它是由 根结点 和称为其 左子树TL 和 右子树TR 的两个不相交的二叉树组成。
特殊二叉树
二叉树的性质
- 一个二叉树第 i层的最大结点数为:2i−1 ,i≥1 。
- 深度为k的二叉树有最大结点总数为: 2k−1,k≥1。
- 对任何非空二叉树T,若n0 表示叶结点的个数、n2 是度为2的非叶结点个数,那么两者满足关系
n0=n2+1 。
问:
讨论3.3: m叉树中各类结点数之间的关系:
在二叉树中,我们知道叶结点总数与有两个儿子的结点总数之间的关系是:
那么类似关系是否可以推广到
答:
4.
- 遍历又分为:
先序、中序、后序和层次遍历。
3.2.2 二叉树的存储结构
顺序存储(主要针对完全二叉树);
链式存储
在此处再次说一说:
typedef struct PloyNode *Polynomial;//这句有什么用呢?
typedef struct PolyNode{//这两个typedef有什么联系吗?
int coef;
int expon;
Polynomial link;//这里是定义了一个相当于next后继指针吗?
}
如果按这样定义好了之后,如何定义一个这样的链表?网上有一个经典的解释:
1.typedef struct PloyNode *Polynomial;
这句是说:定义了一个结构体变量的指针,以后你可以直接用Polynomial来代表struct PolyNode *这个数据.
2.typedef struct PolyNode{
int coef;
int expon;
Polynomial link; }
这个也是一个定义,定义了一个结构体变量,简化了结构体变量的定义。你可以用PolyNode来代表整个结构体变量。再来说一下他们之间的联系: 第一个是定义的一个简化的指针变量:struct PolyNode * ; 第二个定义了一个简化的结构体变量PolyNode来代替:typedef struct PolyNode;
综上是否可理解为:指针变量Polynomial具有结构体PolyNode的结构,即L=(Polynomial)malloc(sizeof(PolyNode))这样就生成一个新的PloyNode结点。
3.3 二叉树的遍历
1.运用递归函数进行遍历
先序遍历
中序遍历
后序遍历
总结:
- 三种遍历算法的遍历路径是一样的,只是访问各节点的时机不同。
2.非递归遍历(使用堆栈)
问:
讨论3.4 如何用堆栈实现后序遍历的非递归程序?
我们前面看到,借助堆栈可以实现前序遍历、中序遍历的非递归程序,而且两者的程序结构几乎一样。
答:
不行,不能用前面同样的结构进行对比处理。
可以利用两个堆栈和一个指针进行处理。
3.层序遍历(使用队列)
问:
将层序遍历中的队列改为堆栈:
如果将层序遍历中的队列改为堆栈,是否也是一种树的遍历?可以应用这种方法改造出一种前序、中序、后序的非递归遍历吗?
答:
堆栈到队列:
就是把数据push到栈A,再把栈A的数据依次pop并push到栈B。那么先入栈A的数据就会移到栈B的顶部,对栈B进行pop时就会先出栈B。恰恰符合了队列的本质——First in First out。
队列到堆栈:
把数据都enqueue到队列A,如果你想取出最后一个enqueue的数据(即Last in),那么就把队列A的数据依次dequeue并enqueue到队列B,但是不能全部移到队列B,要留下一个。这一个就是你需要的数据把它dequeue出来,就会得到Lastin的数据。这个过程,相当于对栈进行了依次pop操作,符合——Last in First out。需要再次pop的时候,按照同样的方法,只需将对A、B的操作交换就可以了。
4.二叉树的应用
例1:输出二叉树中的 叶子结点。
例2. 求二叉树的高度
例3. 由 任意两种 遍历序列确定二叉树,对么?(其中一个必须是中序遍历。)
3.4 小白专场:树的同构
程序:
//author: Paul-Huang
//data: 18/6/2017
#include<stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include<process.h>//引入头文件
#define MaxTree 10
#define Null -1
#define ElementType char
#define Tree int
//建立动态链表
struct TreeNode
{
ElementType node;
Tree Left;
Tree Right;
}Tree1[MaxTree],Tree2[MaxTree];
Tree BuildTree(struct TreeNode T[]);
int Isomprphic(Tree root1, Tree root2);
int main()
{
Tree R1, R2;
R1 = BuildTree(Tree1);
R2 = BuildTree(Tree2);
if (Isomprphic(R1, R2)){
printf("Yes\n");
}
else{
printf("No\n");
}
system("pause");//暂停往下执行 按下任意键继续
return 1;
}
Tree BuildTree(struct TreeNode T[])
{
Tree check[MaxTree], Root = Null; //root = Null 空树则返回Null
char cl, cr;
int i,N;
scanf("%d\n",&N);
if (N) {
for ( i = 0; i < N; i++)
check[i] = 0;
//输入数值,并建立链表
for (i = 0; i < N; i++)
{
scanf("%c %c %c\n", &T[i].node, &cl, &cr);
if (cl != '-'){
T[i].Left = cl - '0';
check[T[i].Left] = 1;
}
else{
T[i].Left = Null;
}
if (cr != '-'){
T[i].Right = cr - '0';
check[T[i].Right] = 1;
}
else{
T[i].Right = Null;
}
}
//查找二叉树的根
for (i = 0; i < N; i++)
if (!check[i])
break;
Root = i;
}
return Root;
}
int Isomprphic(Tree root1, Tree root2)
{
if ((root1 == Null) && (root2 == Null))/* both empty */
return 1;
if (((root1 == Null) && (root2 != Null)) || ((root1 != Null) && (root2 == Null)))
return 0;/* one of them is empty */
if (Tree1[root1].node != Tree2[root2].node)
return 0; /* roots are different */
if ((Tree1[root1].Left == Null) && (Tree2[root2].Left == Null))
/* both have no left subtree */
return Isomprphic(Tree1[root1].Right,Tree2[root2].Right);
if ((Tree1[root1].Right == Null) && (Tree2[root2].Right == Null))
/* both have no right subtree */
return Isomprphic(Tree1[root1].Left, Tree2[root2].Left);
if ((Tree1[root1].Left != Null) && (Tree2[root2].Left != Null) &&
((Tree1[Tree1[root1].Left].node) == (Tree2[Tree2[root2].Left].node)))
/* no need to swap the left and the right */
return (Isomprphic(Tree1[root1].Left, Tree2[root2].Left)&&
Isomprphic(Tree1[root1].Right,Tree2[root2].Right));
else/* need to swap the left and the right */
return (Isomprphic(Tree1[root1].Left, Tree2[root2].Right) &&
Isomprphic(Tree1[root1].Right, Tree2[root2].Left));
}
#include<stdio.h>
#include<iostream>
#define MaxTree 10
#define ElementType int
#define Tree int
#define Null -1
struct TreeNode{
ElementType Element;
Tree left;
Tree right;
}T[MaxTree];
Tree BulidTree(struct TreeNode T[]);
void FindLeave(Tree R);
int main()
{
Tree R;
R = BulidTree(T);
FindLeave(R);
//system("pause");//暂停往下执行 按下任意键继续
return 0;
}
Tree BulidTree(struct TreeNode T[])
{
int i,N;
char cl,cr;
Tree check[MaxTree],Root = Null;
scanf("%d\n",&N);
for(i=0;i<N;i++)check[i] = 0;
if(N)
{
for(i=0;i<N;i++)
{
T[i].Element = i;
scanf("\n%c %c",&cl,&cr);
if(cl != '-')
{
T[i].left = cl - '0';
check[T[i].left] = 1;
}
else T[i].left = Null;
if(cr !='-')
{
T[i].right = cr - '0';
check[T[i].right] = 1;
}
else T[i].right = Null;
}
for(i=0;i<N;i++)
if(!check[i])break;
Root = i;
}
return Root;
}
void FindLeave(Tree R)
{
int leaves = 0;
int queue[MaxTree];
int front = 0,rear = 0;
queue[rear++] = R;
while(rear - front)
{
if((T[queue[front]].left != -1))
queue[rear++] = T[queue[front]].left; //左边如果不为空,加入队列
if((T[queue[front]].right != -1))
queue[rear++] = T[queue[front]].right; //右边如果不为空,加入队列
if((T[queue[front]].left == -1)&&
(T[queue[front]].right == -1))
{
if(leaves) printf(" ");
printf("%d",queue[front]);
++leaves;
} //左右两边为空,则是叶子节点,输出
front++;
}
}