陈越《数据结构》第一讲 基本概念

陈越《数据结构》第一讲 基本概念

---

1什么是数据结构

---

1.1 引子

例子：如何在书架上摆放图书？

1. 随便放；
2. 按照书名的拼音字母顺序排放；
3. 把书架划分成几块区域，每块区域指定摆放某种类别的图书；在每种类别内，按照书名的拼音字母顺序排放。

$解决问题方法的效率，跟数据的组织方式有关。$

例2：写程序实现一个函数PrintN，使得传入一个正整数为N的参数后，能顺序打印从1到N的全部正整数。

1. 循环实现；
2. 递归实现。//数值从$10到10^6$
   $解决问题方法的效率，跟空间的利用效率有关。$

例3：写程序计算给定多项式在给定点x处的值。

1. 利用 $p+=(a[i]\ast pow(x,i));$进行计算；

2. 秦九韶利用 $p=a[i-1]+x\ast p;$进行计算；
   用 time.h中的常数CLK_TCK，clock_t start, stop;计算时间。
   $解决问题方法的效率，跟算法的巧妙程度有关。$

即：解决问题方法的效率，跟数据的组织方式、跟空间的利用效率和跟算法的巧妙程度有关。

数据结构是：

1. $数据对象$ 在计算机中的组织方式(逻辑结构、物理存储结构)；
   2.数据对象必定与一系列加在其上的 $操作$相关联；
   3.完成这些操作所用的方法就是$算法$。

---

1.2 抽象数据类型

数据结构

• 数据对象在计算机中的组织方式(逻辑结构、物理存储结构)；
• 数据对象操作的关联关系；
• 数据对象的最高效算法。

抽象数据类型

数据类型

• 数据对象集;
• 数据集合相关联的操作集。

抽象(描述数据类型的方法不依赖于具体实现)

• 与存放数据的机器无关;
• 与数据存储的物理结构无关;
• 与实现操作的算法和编程语言均无关。

---

2. 什么是算法

$算法（Algorithm）$定义：

1. 一个有限指令集;
2. 接受一些输入（有些情况下不需要输入）;
3. 产生输出(必须);
4. 一定在有限步骤之后终止；
5. 每一条指令必须：
   • 有充分明确的目标，不可以有歧义；
   • 计算机能处理的范围之内；
   • 描述应不依赖于任何一种计算机语言以及具体的实现手段。

2.1什么是好的算法？

• $空间复杂度S(n)$ 占用存储单元的长度。
• $时间复杂度T(n)$ 耗费时间的长度。

在例3中，第一种方法的时间复杂度是$T(n)=C_1{n}^2+C_{2}n$；秦九韶的时间复杂度是$T(n)=C.n$。

在分析一般算法的效率时，我们经常关注下面两种复杂度：

• $最坏情况复杂度$$T_{worst}(n)$;
• $平均复杂度$$T_{avg}(n)$。
  其中我们最关心$最坏情况复杂度$。

2.2 一些基本概念

---

$复杂度的渐进表示法$

• 上界：$T(n)=O(f(n))$；
• 下界：$T(n)=\Omega (g(n))$；
• 上下界等价：$T(n)=\Theta (h(n));\Theta (h(n))=O(f(n))，\Theta (h(n))=\Omega (g(n))$。
  $我们写O(f(n))时，是写最小上界，写\Omega (g(n)时，是写最大下界，这样才有意义。$

$复杂度的渐进表示法$

1. 若两段算法分别有复杂度$T_1(n)=O(f_1(n))$和$T_2(n)=O(f_2(n))$，则:

• $T_1(n)+T_2(n)=max(O(f_1(n)),O(f_2(n)))$;
• $T_1(n)\ast T_2(n)=O(f_1(n)\ast f_2(n))。$

2. 若$T(n)$是关于$n的k阶多项式$，那么起作用的是最大项，即$T(n)=\Theta (n^k);$

3. $一个for循环的时间复杂度$等于$循环次数$乘以$循环体代码的复杂度；$

4. $if-else结构$的复杂度取决于if的条件判断复杂度和两个分枝部分的复杂度，$总体复杂度取三者中最大；$

5. $O(n^2)复杂度的算法本能的优化为O(nlogn)。$

---

3.应用实例：最大子列和问题

---

应用实例：最大子列和问题

01 - 复杂度1 最大子列和问题(20分)
例如给定序列{−2,11,−4,13,−5,−2}\{ -2, 11, -4, 13, -5, -2 \}{−2,11,−4,13,−5,−2}，其连续子列{11,−4,13}\{ 11, -4, 13 \}{11,−4,13}有最大的和$20$。现要求你编写程序，计算给定整数序列的最大子列和。

• 本题旨在测试各种不同的算法在各种数据情况下的表现。各组测试数据特点如下：
  • 数据1：与样例等价，测试基本正确性；
  • 数据2：$10^2$个随机整数；
  • 数据3：$10^3$个随机整数；
  • 数据4：$10^4$个随机整数；
  • 数据5：$10^5$个随机整数；
• 输入格式 :
  输入第1行给出正整数K(≤100000)；第2行给出K个整数，其间以空格分隔。
• 输出格式 :
  在一行中输出最大子列和。如果序列中所有整数皆为负数，则输出0。
• 输入样例 :

  6
  -2 11 -4 13 -5 -2

• 输出样例 :

  20

$解决方法:$

1. 时间复杂度为$T(N)=O(N^3)$;
2. 时间复杂度为$T(N)=O(N^2)$;
3. 时间复杂度为$T(N)=O(NlogN)$;（分而治之）
4. 时间复杂度为$T(N)=O(N)$。（在线处理）

时间复杂度为$T(N)=O(N^2)$的代码：

#include<stdio.h>
#include<iostream>

#define MAXN 100000
int arr[MAXN];

int MaxSubseqSum(int A[], int N);

int main()
{
	int i, n;

	scanf("%d",&n);
	for (i = 0; i < n; i++)
		scanf("%d",&arr[i]);
	printf("%d\n",MaxSubseqSum(arr,n));
	system("pause");
	return 0;
}

int MaxSubseqSum(int A[], int N)
{
	int ThisSum, MaxSum = 0;
	int i, j;

	for (i = 0; i < N; i++)
	{
		ThisSum = 0;
		for (j = i; j < N; j++)
		{
			ThisSum = ThisSum + A[j];
			if (ThisSum > MaxSum)
				MaxSum = ThisSum;
		}		
	}
	return MaxSum;
}

分而治之的代码：

#include<stdio.h>
#include<iostream>
#define MAXN 100000
int arr[MAXN + 10];

int maxThree(int a,int b,int c);
int maxSubSeq(int arr[],int low,int height);
int maxSubSeq1(int arr[],int n);
int main()
{
	int i, n;
    
    scanf("%d", &n);
    for(i = 0; i < n; i++)
        scanf("%d", &arr[i]); 
	printf("%d\n", maxSubSeq(arr, 0, n-1));
	system("pause");
    return 0;
}
int maxSubSeq1(int arr[],int n)
{
	int i = 0, iThisSum = 0, iMaxSum = 0;
	 for(i = 0; i < n; i++)
    {
        iThisSum += arr[i];
		if(iThisSum > iMaxSum) iMaxSum = iThisSum;
        else if(iThisSum < 0) iThisSum = 0;
    }
	 return iMaxSum;
}
int maxSubSeq(int arr[], int low, int height)
{
	int i = 0, iMid = 0, iThisSum = 0, iLeftMax = 0, iRightMax = 0, iLeftMaxSum = 0, iRightMaxSum = 0;
	if(low >= height) return arr[low];
	iMid = (low + height)/2;
	iLeftMax = maxSubSeq(arr,low,iMid);//左边最大
	iRightMax = maxSubSeq(arr,(iMid+1),height);//右边最大
	//中间（跨越）最大
	iThisSum = iLeftMaxSum = 0;
	for(i = iMid ; i >low ; i-- )
	{
		iThisSum += arr[i];
		if(iThisSum > iLeftMaxSum) iLeftMaxSum = iThisSum;
	}
	iThisSum = iRightMaxSum = 0;
	for(i = iMid ; i <height ; i++)
	{
		iThisSum += arr[i];
		if(iThisSum > iRightMaxSum) iRightMaxSum = iThisSum;
	}

	return maxThree(iLeftMax , iRightMax, (iRightMaxSum + iLeftMaxSum));

}
int maxThree(int a,int b,int c)
{
	int max = a;
	if(b > max) max = b;
	if(c > max) max = c;
	return max;
}