人工智能之数学基础：矩阵的相似变换的本质是什么？

本文重点

矩阵的相似变换是线性代数中一个至关重要的概念，它揭示了矩阵之间的一种特殊关系。并提供了通过可逆矩阵将一个矩阵转化为另一个矩阵的方法，，同时保持矩阵的某些本质特征不变。但是，你有没有想过，矩阵相似变换的本质是什么？

一句话说本质

相似变换的本质在于，它描述了两个矩阵在不同基（或坐标系）下对同一线性变换的描述。换句话说，虽然A和B在数值上可能不同，但它们表示的是同一个线性变换，只是所选的基不同而已。

通俗解释

在前面学习线性变换的时候，我们介绍了矩阵乘法是一种线性变换。对于有限维向量空间，我们可以将线性变换表示为矩阵的形式。

在一个线性空间中，只要我们选定一组基，那么对于任何一个线性变换，都能够用一个确定的矩阵来加以描述。换一组基，那么同一个线性变化就会用另外一个矩阵来表示，尽管是同一个线性变换。

所有这些矩阵都是同一个线性变换的描述，但又都不是线性变换本身。

也就是说同样的一个线性变换但是在不同基的前提下，会有多个矩阵对应，由于多个矩阵都是表示的同一个线性变换，那么矩阵之间有相似的关系，用数学的表示方法就是：

所以A和B是相似矩阵，从这个角度来说相似矩阵就是同一个线性变换在不同基下的不同矩阵。

P又是什么呢？矩阵P表示的是矩阵A对应的基和矩阵B对应的基之间的一个变换关系。