4、规划领域的形式化与相关问题分析

规划领域的形式化与相关问题分析

1. 优化保留约简与规划问题概述

在规划问题的研究中，优化保留约简（OP - reduction）是一个重要概念。若存在常数 $r > 1$ 和多项式时间可计算函数 $b_r : I × N_0 → N_0$，使得对于所有实例 $I ∈ I$ 和所有自然数 $K ∈ N_0$ 满足 $m^ (I) ≤ K$ 当且仅当 $m^ (f(I, r)) ≤ b_r(I, K)$，则称约简 $R$ 为优化保留约简。若在问题 $P$ 和 $P’$ 之间存在 OP - 约简，就称 $P$ 可 OP - 约简到 $P’$，记为 $P ≤_{OP} P’$。OP - 约简的目的是让 $P$ 和 $P’$ 之间的 AP - 约简同时成为它们相关决策问题的 Karp 约简。

规划本质上是一种特殊的最小化问题。为了清晰理解规划的语义，我们先从状态空间的定义开始。

2. 状态空间与规划领域的定义

• 状态空间 ：状态空间是一个 5 - 元组 $S = ⟨S, s_0, S^*, O, w⟩$，各组件含义如下：
  • $S$ 是有限状态集。
  • $s_0 ∈ S$ 是初始状态。
  • $S^* ⊆ S$ 是目标状态集。
  • $O$ 是有限操作符集，操作符是将 $S$ 的子集映射到 $S$ 的函数，在给定状态下若操作符在该状态有定义，则称其在该状态可应用，操作符也称为动作。
  • $w : O → N_0$ 是操作符成本函数。