51、图的树宽与最小填充计算

图的树宽与最小填充计算

1. 引言

在图论的研究范畴中，树宽（treewidth）和最小填充（minimum fill - in）是两个极为关键的概念。树宽衡量了图的结构复杂度，而最小填充则与图的三角剖分密切相关，这两者在图算法的设计和分析里起着至关重要的作用。本文着重探讨如何运用模块化分解的方法来计算图的树宽和最小填充，并给出了针对特定图类的多项式时间算法。

2. 基本定义

• 图的基本概念 ：本文所探讨的图均为无向且无环的图。对于图 (G)，用 (V(G)) 表示其顶点集，(E(G)) 表示其边集。对于 (X\subseteq V(G))，(G[X]) 表示由 (X) 诱导的 (G) 的子图，(G - X) 表示由 (V(G)-X) 诱导的子图。(N(v)) 表示顶点 (v) 在 (G) 中的邻域。若顶点 (v) 与图中除自身外的所有顶点都相邻，即 (N(v)=V(G)-{v})，则称 (v) 为图 (G) 的通用顶点。
• 最小分隔集 ：设 (a) 和 (b) 是不同的非相邻顶点，若 (a) 和 (b) 处于 (G - S) 的不同连通分量中，且 (S) 不存在具有相同性质的子集，那么集合 (S\subset V) 就是最小 (a,b) - 分隔集。若存在顶点 (a) 和 (b) 使得 (S) 是最小 (a,b) - 分隔集，则称 (S) 为最小分隔集。
• 树分解 ：图 (G=(V, E)) 的树分解是一个对 (({X_i : i\in I}, T))，其中 ({X_i : i\in I}) 是 (V) 的